Løs 9x^2-18x-16=0

$$9 x ^ { 2 } - 18 x - 16 = 0$$

Løs for x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2,666666667$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 9x^{2}+ax+bx-16. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-18 ab=9\left(-16\right)=-144$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -144.

$$1,-144 2,-72 3,-48 4,-36 6,-24 8,-18 9,-16 12,-12$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-144=-143 2-72=-70 3-48=-45 4-36=-32 6-24=-18 8-18=-10 9-16=-7 12-12=0$$

Løsningen er paret som gir Summer -18.

$$a=-24 b=6$$

Skriv om 9x^{2}-18x-16 som \left(9x^{2}-24x\right)+\left(6x-16\right).

$$\left(9x^{2}-24x\right)+\left(6x-16\right)$$

Faktor ut 3x i den første og 2 i den andre gruppen.

$$3x\left(3x-8\right)+2\left(3x-8\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 3x-8 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(3x-8\right)\left(3x+2\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 3x-8=0 og 3x+2=0.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{2}{3}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$9x^{2}-18x-16=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 9 for a, -18 for b og -16 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Kvadrer -18.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Multipliser -4 ganger 9.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-36\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Multipliser -36 ganger -16.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324+576}}{2\times 9}$$

Legg sammen 324 og 576.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{900}}{2\times 9}$$

Ta kvadratroten av 900.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±30}{2\times 9}$$

Det motsatte av -18 er 18.

$$x=\frac{18±30}{2\times 9}$$

Multipliser 2 ganger 9.

$$x=\frac{18±30}{18}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{18±30}{18} når ± er pluss. Legg sammen 18 og 30.

$$x=\frac{48}{18}$$

Forkort brøken \frac{48}{18} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 6.

$$x=\frac{8}{3}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{18±30}{18} når ± er minus. Trekk fra 30 fra 18.

$$x=-\frac{12}{18}$$

Forkort brøken \frac{-12}{18} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 6.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{2}{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-18x-16=0$$

Legg til 16 på begge sider av ligningen.

$$9x^{2}-18x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Når du trekker fra -16 fra seg selv har du 0 igjen.

$$9x^{2}-18x=-\left(-16\right)$$

Trekk fra -16 fra 0.

$$9x^{2}-18x=16$$

Del begge sidene på 9.

$$\frac{9x^{2}-18x}{9}=\frac{16}{9}$$

Hvis du deler på 9, gjør du om gangingen med 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{18}{9}\right)x=\frac{16}{9}$$

Del -18 på 9.

$$x^{2}-2x=\frac{16}{9}$$

Del -2, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -1. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -1 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-2x+1=\frac{16}{9}+1$$

Legg sammen \frac{16}{9} og 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{25}{9}$$

Faktoriser x^{2}-2x+1. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{25}{9}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{9}}$$

Forenkle.

$$x-1=\frac{5}{3} x-1=-\frac{5}{3}$$

Legg til 1 på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{2}{3}$$