Løs 9x^2-155x-500=0

$$9 x ^ { 2 } - 155 x - 500 = 0$$

Løs for x

$$x = -\frac{25}{9} = -2\frac{7}{9} \approx -2,777777778$$

$$x=20$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 9x^{2}+ax+bx-500. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-155 ab=9\left(-500\right)=-4500$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -4500.

$$1,-4500 2,-2250 3,-1500 4,-1125 5,-900 6,-750 9,-500 10,-450 12,-375 15,-300 18,-250 20,-225 25,-180 30,-150 36,-125 45,-100 50,-90 60,-75$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-4500=-4499 2-2250=-2248 3-1500=-1497 4-1125=-1121 5-900=-895 6-750=-744 9-500=-491 10-450=-440 12-375=-363 15-300=-285 18-250=-232 20-225=-205 25-180=-155 30-150=-120 36-125=-89 45-100=-55 50-90=-40 60-75=-15$$

Løsningen er paret som gir Summer -155.

$$a=-180 b=25$$

Skriv om 9x^{2}-155x-500 som \left(9x^{2}-180x\right)+\left(25x-500\right).

$$\left(9x^{2}-180x\right)+\left(25x-500\right)$$

Faktor ut 9x i den første og 25 i den andre gruppen.

$$9x\left(x-20\right)+25\left(x-20\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-20 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-20\right)\left(9x+25\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-20=0 og 9x+25=0.

$$x=20 x=-\frac{25}{9}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$9x^{2}-155x-500=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 9 for a, -155 for b og -500 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-155\right)±\sqrt{\left(-155\right)^{2}-4\times 9\left(-500\right)}}{2\times 9}$$

Kvadrer -155.

$$x=\frac{-\left(-155\right)±\sqrt{24025-4\times 9\left(-500\right)}}{2\times 9}$$

Multipliser -4 ganger 9.

$$x=\frac{-\left(-155\right)±\sqrt{24025-36\left(-500\right)}}{2\times 9}$$

Multipliser -36 ganger -500.

$$x=\frac{-\left(-155\right)±\sqrt{24025+18000}}{2\times 9}$$

Legg sammen 24025 og 18000.

$$x=\frac{-\left(-155\right)±\sqrt{42025}}{2\times 9}$$

Ta kvadratroten av 42025.

$$x=\frac{-\left(-155\right)±205}{2\times 9}$$

Det motsatte av -155 er 155.

$$x=\frac{155±205}{2\times 9}$$

Multipliser 2 ganger 9.

$$x=\frac{155±205}{18}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{155±205}{18} når ± er pluss. Legg sammen 155 og 205.

$$x=\frac{360}{18}$$

Del 360 på 18.

$$x=20$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{155±205}{18} når ± er minus. Trekk fra 205 fra 155.

$$x=-\frac{50}{18}$$

Forkort brøken \frac{-50}{18} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=-\frac{25}{9}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=20 x=-\frac{25}{9}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-155x-500=0$$

Legg til 500 på begge sider av ligningen.

$$9x^{2}-155x-500-\left(-500\right)=-\left(-500\right)$$

Når du trekker fra -500 fra seg selv har du 0 igjen.

$$9x^{2}-155x=-\left(-500\right)$$

Trekk fra -500 fra 0.

$$9x^{2}-155x=500$$

Del begge sidene på 9.

$$\frac{9x^{2}-155x}{9}=\frac{500}{9}$$

Hvis du deler på 9, gjør du om gangingen med 9.

$$x^{2}-\frac{155}{9}x=\frac{500}{9}$$

Del -\frac{155}{9}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{155}{18}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{155}{18} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{155}{9}x+\left(-\frac{155}{18}\right)^{2}=\frac{500}{9}+\left(-\frac{155}{18}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{155}{18} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{155}{9}x+\frac{24025}{324}=\frac{500}{9}+\frac{24025}{324}$$

Legg sammen \frac{500}{9} og \frac{24025}{324} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{155}{9}x+\frac{24025}{324}=\frac{42025}{324}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{155}{9}x+\frac{24025}{324}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{155}{18}\right)^{2}=\frac{42025}{324}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{155}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{42025}{324}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{155}{18}=\frac{205}{18} x-\frac{155}{18}=-\frac{205}{18}$$

Legg til \frac{155}{18} på begge sider av ligningen.

$$x=20 x=-\frac{25}{9}$$