Løs 9x^2-14x-14=0

$$9 x ^ { 2 } - 14 x - 14 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{5 \sqrt{7} + 7}{9} \approx 2,247639617$$

$$x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}\approx -0,692084062$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$9x^{2}-14x-14=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 9 for a, -14 for b og -14 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 9\left(-14\right)}}{2\times 9}$$

Kvadrer -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 9\left(-14\right)}}{2\times 9}$$

Multipliser -4 ganger 9.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-36\left(-14\right)}}{2\times 9}$$

Multipliser -36 ganger -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+504}}{2\times 9}$$

Legg sammen 196 og 504.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{700}}{2\times 9}$$

Ta kvadratroten av 700.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±10\sqrt{7}}{2\times 9}$$

Det motsatte av -14 er 14.

$$x=\frac{14±10\sqrt{7}}{2\times 9}$$

Multipliser 2 ganger 9.

$$x=\frac{14±10\sqrt{7}}{18}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{14±10\sqrt{7}}{18} når ± er pluss. Legg sammen 14 og 10\sqrt{7}.

$$x=\frac{10\sqrt{7}+14}{18}$$

Del 14+10\sqrt{7} på 18.

$$x=\frac{5\sqrt{7}+7}{9}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{14±10\sqrt{7}}{18} når ± er minus. Trekk fra 10\sqrt{7} fra 14.

$$x=\frac{14-10\sqrt{7}}{18}$$

Del 14-10\sqrt{7} på 18.

$$x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{5\sqrt{7}+7}{9} x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-14x-14=0$$

Legg til 14 på begge sider av ligningen.

$$9x^{2}-14x-14-\left(-14\right)=-\left(-14\right)$$

Når du trekker fra -14 fra seg selv har du 0 igjen.

$$9x^{2}-14x=-\left(-14\right)$$

Trekk fra -14 fra 0.

$$9x^{2}-14x=14$$

Del begge sidene på 9.

$$\frac{9x^{2}-14x}{9}=\frac{14}{9}$$

Hvis du deler på 9, gjør du om gangingen med 9.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x=\frac{14}{9}$$

Divider -\frac{14}{9}, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få -\frac{7}{9}. Legg deretter til kvadratet av -\frac{7}{9} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\left(-\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{14}{9}+\left(-\frac{7}{9}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{7}{9} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{14}{9}+\frac{49}{81}$$

Legg sammen \frac{14}{9} og \frac{49}{81} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{175}{81}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{175}{81}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{175}{81}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{7}{9}=\frac{5\sqrt{7}}{9} x-\frac{7}{9}=-\frac{5\sqrt{7}}{9}$$

Legg til \frac{7}{9} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{5\sqrt{7}+7}{9} x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}$$