Løs 9x^2-12x-4=0

$$9 x ^ { 2 } - 12 x - 4 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{2 \sqrt{2} + 2}{3} \approx 1,609475708$$

$$x=\frac{2-2\sqrt{2}}{3}\approx -0,276142375$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$9x^{2}-12x-4=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 9 for a, -12 for b og -4 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\left(-4\right)}}{2\times 9}$$

Kvadrer -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\left(-4\right)}}{2\times 9}$$

Multipliser -4 ganger 9.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\left(-4\right)}}{2\times 9}$$

Multipliser -36 ganger -4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+144}}{2\times 9}$$

Legg sammen 144 og 144.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{288}}{2\times 9}$$

Ta kvadratroten av 288.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±12\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Det motsatte av -12 er 12.

$$x=\frac{12±12\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Multipliser 2 ganger 9.

$$x=\frac{12±12\sqrt{2}}{18}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{12±12\sqrt{2}}{18} når ± er pluss. Legg sammen 12 og 12\sqrt{2}.

$$x=\frac{12\sqrt{2}+12}{18}$$

Del 12+12\sqrt{2} på 18.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+2}{3}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{12±12\sqrt{2}}{18} når ± er minus. Trekk fra 12\sqrt{2} fra 12.

$$x=\frac{12-12\sqrt{2}}{18}$$

Del 12-12\sqrt{2} på 18.

$$x=\frac{2-2\sqrt{2}}{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+2}{3} x=\frac{2-2\sqrt{2}}{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-12x-4=0$$

Legg til 4 på begge sider av ligningen.

$$9x^{2}-12x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Når du trekker fra -4 fra seg selv har du 0 igjen.

$$9x^{2}-12x=-\left(-4\right)$$

Trekk fra -4 fra 0.

$$9x^{2}-12x=4$$

Del begge sidene på 9.

$$\frac{9x^{2}-12x}{9}=\frac{4}{9}$$

Hvis du deler på 9, gjør du om gangingen med 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)x=\frac{4}{9}$$

Forkort brøken \frac{-12}{9} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{4}{9}$$

Del -\frac{4}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{2}{3}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{2}{3} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{2}{3} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{4+4}{9}$$

Legg sammen \frac{4}{9} og \frac{4}{9} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{8}{9}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{8}{9}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{8}{9}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$$

Legg til \frac{2}{3} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+2}{3} x=\frac{2-2\sqrt{2}}{3}$$