Løs 9x^2+9x=1

$$9 x ^ { 2 } + 9 x = 1$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2}\approx 0,100925213$$

$$x=-\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2}\approx -1,100925213$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$9x^{2}+9x=1$$

Trekk fra 1 fra begge sider av ligningen.

$$9x^{2}+9x-1=1-1$$

Når du trekker fra 1 fra seg selv har du 0 igjen.

$$9x^{2}+9x-1=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 9 for a, 9 for b og -1 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 9\left(-1\right)}}{2\times 9}$$

Kvadrer 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 9\left(-1\right)}}{2\times 9}$$

Multipliser -4 ganger 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-36\left(-1\right)}}{2\times 9}$$

Multipliser -36 ganger -1.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+36}}{2\times 9}$$

Legg sammen 81 og 36.

$$x=\frac{-9±\sqrt{117}}{2\times 9}$$

Ta kvadratroten av 117.

$$x=\frac{-9±3\sqrt{13}}{2\times 9}$$

Multipliser 2 ganger 9.

$$x=\frac{-9±3\sqrt{13}}{18}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-9±3\sqrt{13}}{18} når ± er pluss. Legg sammen -9 og 3\sqrt{13}.

$$x=\frac{3\sqrt{13}-9}{18}$$

Del -9+3\sqrt{13} på 18.

$$x=\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-9±3\sqrt{13}}{18} når ± er minus. Trekk fra 3\sqrt{13} fra -9.

$$x=\frac{-3\sqrt{13}-9}{18}$$

Del -9-3\sqrt{13} på 18.

$$x=-\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+9x=1$$

Del begge sidene på 9.

$$\frac{9x^{2}+9x}{9}=\frac{1}{9}$$

Hvis du deler på 9, gjør du om gangingen med 9.

$$x^{2}+\frac{9}{9}x=\frac{1}{9}$$

Del 9 på 9.

$$x^{2}+x=\frac{1}{9}$$

Del 1, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{1}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{1}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{9}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{1}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{1}{9}+\frac{1}{4}$$

Legg sammen \frac{1}{9} og \frac{1}{4} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{13}{36}$$

Faktoriser x^{2}+x+\frac{1}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{13}{36}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{36}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{13}}{6} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{13}}{6}$$

Trekk fra \frac{1}{2} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2}$$