Løs 9x^2+7x+9=25

$$9 x ^ { 2 } + 7 x + 9 = 25$$

Løs for x

$$x = -\frac{16}{9} = -1\frac{7}{9} \approx -1,777777778$$

$$x=1$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Trekk fra 25 fra begge sider.

$$9x^{2}+7x+9-25=0$$

Trekk fra 25 fra 9 for å få -16.

$$9x^{2}+7x-16=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 9x^{2}+ax+bx-16. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=7 ab=9\left(-16\right)=-144$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -144.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

Løsningen er paret som gir Summer 7.

$$a=-9 b=16$$

Skriv om 9x^{2}+7x-16 som \left(9x^{2}-9x\right)+\left(16x-16\right).

$$\left(9x^{2}-9x\right)+\left(16x-16\right)$$

Faktor ut 9x i den første og 16 i den andre gruppen.

$$9x\left(x-1\right)+16\left(x-1\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-1\right)\left(9x+16\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-1=0 og 9x+16=0.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$9x^{2}+7x+9=25$$

Trekk fra 25 fra begge sider av ligningen.

$$9x^{2}+7x+9-25=25-25$$

Når du trekker fra 25 fra seg selv har du 0 igjen.

$$9x^{2}+7x+9-25=0$$

Trekk fra 25 fra 9.

$$9x^{2}+7x-16=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 9 for a, 7 for b og -16 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Kvadrer 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Multipliser -4 ganger 9.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-36\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Multipliser -36 ganger -16.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+576}}{2\times 9}$$

Legg sammen 49 og 576.

$$x=\frac{-7±\sqrt{625}}{2\times 9}$$

Ta kvadratroten av 625.

$$x=\frac{-7±25}{2\times 9}$$

Multipliser 2 ganger 9.

$$x=\frac{-7±25}{18}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-7±25}{18} når ± er pluss. Legg sammen -7 og 25.

$$x=\frac{18}{18}$$

Del 18 på 18.

$$x=1$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-7±25}{18} når ± er minus. Trekk fra 25 fra -7.

$$x=-\frac{32}{18}$$

Forkort brøken \frac{-32}{18} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=-\frac{16}{9}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+7x+9=25$$

Trekk fra 9 fra begge sider av ligningen.

$$9x^{2}+7x+9-9=25-9$$

Når du trekker fra 9 fra seg selv har du 0 igjen.

$$9x^{2}+7x=25-9$$

Trekk fra 9 fra 25.

$$9x^{2}+7x=16$$

Del begge sidene på 9.

$$\frac{9x^{2}+7x}{9}=\frac{16}{9}$$

Hvis du deler på 9, gjør du om gangingen med 9.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x=\frac{16}{9}$$

Del \frac{7}{9}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{7}{18}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{7}{18} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{16}{9}+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{7}{18} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{16}{9}+\frac{49}{324}$$

Legg sammen \frac{16}{9} og \frac{49}{324} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{625}{324}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{625}{324}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{324}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{7}{18}=\frac{25}{18} x+\frac{7}{18}=-\frac{25}{18}$$

Trekk fra \frac{7}{18} fra begge sider av ligningen.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$