Løs 9x^2+6x+9=0

$$9 x ^ { 2 } + 6 x + 9 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-1+2\sqrt{2}i}{3}\approx -0,333333333+0,942809042i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-1}{3}\approx -0,333333333-0,942809042i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$9x^{2}+6x+9=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 9 for a, 6 for b og 9 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 9\times 9}}{2\times 9}$$

Kvadrer 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 9\times 9}}{2\times 9}$$

Multipliser -4 ganger 9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-36\times 9}}{2\times 9}$$

Multipliser -36 ganger 9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-324}}{2\times 9}$$

Legg sammen 36 og -324.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-288}}{2\times 9}$$

Ta kvadratroten av -288.

$$x=\frac{-6±12\sqrt{2}i}{2\times 9}$$

Multipliser 2 ganger 9.

$$x=\frac{-6±12\sqrt{2}i}{18}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-6±12\sqrt{2}i}{18} når ± er pluss. Legg sammen -6 og 12i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-6+12\sqrt{2}i}{18}$$

Del -6+12i\sqrt{2} på 18.

$$x=\frac{-1+2\sqrt{2}i}{3}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-6±12\sqrt{2}i}{18} når ± er minus. Trekk fra 12i\sqrt{2} fra -6.

$$x=\frac{-12\sqrt{2}i-6}{18}$$

Del -6-12i\sqrt{2} på 18.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-1}{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{-1+2\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{2}i-1}{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+6x+9=0$$

Trekk fra 9 fra begge sider av ligningen.

$$9x^{2}+6x+9-9=-9$$

Når du trekker fra 9 fra seg selv har du 0 igjen.

$$9x^{2}+6x=-9$$

Del begge sidene på 9.

$$\frac{9x^{2}+6x}{9}=-\frac{9}{9}$$

Hvis du deler på 9, gjør du om gangingen med 9.

$$x^{2}+\frac{6}{9}x=-\frac{9}{9}$$

Forkort brøken \frac{6}{9} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{9}{9}$$

Del -9 på 9.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-1$$

Del \frac{2}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{1}{3}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{1}{3} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{1}{3} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-1+\frac{1}{9}$$

Legg sammen -1 og \frac{1}{9}.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{8}{9}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{8}{9}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{8}{9}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{2}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{2\sqrt{2}i}{3}$$

Trekk fra \frac{1}{3} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{-1+2\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{2}i-1}{3}$$