Løs 9x^2+5x-4=0

$$9 x ^ { 2 } + 5 x - 4 = 0$$

Løs for x

$$x=-1$$

$$x=\frac{4}{9}\approx 0,444444444$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 9x^{2}+ax+bx-4. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=5 ab=9\left(-4\right)=-36$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -36.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

Løsningen er paret som gir Summer 5.

$$a=-4 b=9$$

Skriv om 9x^{2}+5x-4 som \left(9x^{2}-4x\right)+\left(9x-4\right).

$$\left(9x^{2}-4x\right)+\left(9x-4\right)$$

Faktorer ut x i 9x^{2}-4x.

$$x\left(9x-4\right)+9x-4$$

Faktorer ut det felles leddet 9x-4 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(9x-4\right)\left(x+1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 9x-4=0 og x+1=0.

$$x=\frac{4}{9} x=-1$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$9x^{2}+5x-4=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 9 for a, 5 for b og -4 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 9\left(-4\right)}}{2\times 9}$$

Kvadrer 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 9\left(-4\right)}}{2\times 9}$$

Multipliser -4 ganger 9.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-36\left(-4\right)}}{2\times 9}$$

Multipliser -36 ganger -4.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+144}}{2\times 9}$$

Legg sammen 25 og 144.

$$x=\frac{-5±\sqrt{169}}{2\times 9}$$

Ta kvadratroten av 169.

$$x=\frac{-5±13}{2\times 9}$$

Multipliser 2 ganger 9.

$$x=\frac{-5±13}{18}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-5±13}{18} når ± er pluss. Legg sammen -5 og 13.

$$x=\frac{8}{18}$$

Forkort brøken \frac{8}{18} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=\frac{4}{9}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-5±13}{18} når ± er minus. Trekk fra 13 fra -5.

$$x=-\frac{18}{18}$$

Del -18 på 18.

$$x=-1$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{4}{9} x=-1$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+5x-4=0$$

Legg til 4 på begge sider av ligningen.

$$9x^{2}+5x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Når du trekker fra -4 fra seg selv har du 0 igjen.

$$9x^{2}+5x=-\left(-4\right)$$

Trekk fra -4 fra 0.

$$9x^{2}+5x=4$$

Del begge sidene på 9.

$$\frac{9x^{2}+5x}{9}=\frac{4}{9}$$

Hvis du deler på 9, gjør du om gangingen med 9.

$$x^{2}+\frac{5}{9}x=\frac{4}{9}$$

Del \frac{5}{9}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{5}{18}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{5}{18} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{5}{9}x+\left(\frac{5}{18}\right)^{2}=\frac{4}{9}+\left(\frac{5}{18}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{5}{18} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}=\frac{4}{9}+\frac{25}{324}$$

Legg sammen \frac{4}{9} og \frac{25}{324} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}=\frac{169}{324}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{18}\right)^{2}=\frac{169}{324}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{324}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{5}{18}=\frac{13}{18} x+\frac{5}{18}=-\frac{13}{18}$$

Trekk fra \frac{5}{18} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{4}{9} x=-1$$