Løs 9x^2+5x+3=20

$$9 x ^ { 2 } + 5 x + 3 = 20$$

Løs for x

$$x = \frac{7 \sqrt{13} - 5}{18} \approx 1,124381052$$

$$x=\frac{-7\sqrt{13}-5}{18}\approx -1,679936607$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$9x^{2}+5x+3=20$$

Trekk fra 20 fra begge sider av ligningen.

$$9x^{2}+5x+3-20=20-20$$

Når du trekker fra 20 fra seg selv har du 0 igjen.

$$9x^{2}+5x+3-20=0$$

Trekk fra 20 fra 3.

$$9x^{2}+5x-17=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 9 for a, 5 for b og -17 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 9\left(-17\right)}}{2\times 9}$$

Kvadrer 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 9\left(-17\right)}}{2\times 9}$$

Multipliser -4 ganger 9.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-36\left(-17\right)}}{2\times 9}$$

Multipliser -36 ganger -17.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+612}}{2\times 9}$$

Legg sammen 25 og 612.

$$x=\frac{-5±\sqrt{637}}{2\times 9}$$

Ta kvadratroten av 637.

$$x=\frac{-5±7\sqrt{13}}{2\times 9}$$

Multipliser 2 ganger 9.

$$x=\frac{-5±7\sqrt{13}}{18}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-5±7\sqrt{13}}{18} når ± er pluss. Legg sammen -5 og 7\sqrt{13}.

$$x=\frac{7\sqrt{13}-5}{18}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-5±7\sqrt{13}}{18} når ± er minus. Trekk fra 7\sqrt{13} fra -5.

$$x=\frac{-7\sqrt{13}-5}{18}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{7\sqrt{13}-5}{18} x=\frac{-7\sqrt{13}-5}{18}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+5x+3=20$$

Trekk fra 3 fra begge sider av ligningen.

$$9x^{2}+5x+3-3=20-3$$

Når du trekker fra 3 fra seg selv har du 0 igjen.

$$9x^{2}+5x=20-3$$

Trekk fra 3 fra 20.

$$9x^{2}+5x=17$$

Del begge sidene på 9.

$$\frac{9x^{2}+5x}{9}=\frac{17}{9}$$

Hvis du deler på 9, gjør du om gangingen med 9.

$$x^{2}+\frac{5}{9}x=\frac{17}{9}$$

Del \frac{5}{9}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{5}{18}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{5}{18} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{5}{9}x+\left(\frac{5}{18}\right)^{2}=\frac{17}{9}+\left(\frac{5}{18}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{5}{18} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}=\frac{17}{9}+\frac{25}{324}$$

Legg sammen \frac{17}{9} og \frac{25}{324} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}=\frac{637}{324}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{18}\right)^{2}=\frac{637}{324}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{637}{324}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{5}{18}=\frac{7\sqrt{13}}{18} x+\frac{5}{18}=-\frac{7\sqrt{13}}{18}$$

Trekk fra \frac{5}{18} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{7\sqrt{13}-5}{18} x=\frac{-7\sqrt{13}-5}{18}$$