Løs 9x^2+3x+9=0

$$9 x ^ { 2 } + 3 x + 9 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{35}i}{6}\approx -0,166666667+0,986013297i$$

$$x=\frac{-\sqrt{35}i-1}{6}\approx -0,166666667-0,986013297i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$9x^{2}+3x+9=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 9 for a, 3 for b og 9 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 9\times 9}}{2\times 9}$$

Kvadrer 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 9\times 9}}{2\times 9}$$

Multipliser -4 ganger 9.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-36\times 9}}{2\times 9}$$

Multipliser -36 ganger 9.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-324}}{2\times 9}$$

Legg sammen 9 og -324.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-315}}{2\times 9}$$

Ta kvadratroten av -315.

$$x=\frac{-3±3\sqrt{35}i}{2\times 9}$$

Multipliser 2 ganger 9.

$$x=\frac{-3±3\sqrt{35}i}{18}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-3±3\sqrt{35}i}{18} når ± er pluss. Legg sammen -3 og 3i\sqrt{35}.

$$x=\frac{-3+3\sqrt{35}i}{18}$$

Del -3+3i\sqrt{35} på 18.

$$x=\frac{-1+\sqrt{35}i}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-3±3\sqrt{35}i}{18} når ± er minus. Trekk fra 3i\sqrt{35} fra -3.

$$x=\frac{-3\sqrt{35}i-3}{18}$$

Del -3-3i\sqrt{35} på 18.

$$x=\frac{-\sqrt{35}i-1}{6}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{-1+\sqrt{35}i}{6} x=\frac{-\sqrt{35}i-1}{6}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+3x+9=0$$

Trekk fra 9 fra begge sider av ligningen.

$$9x^{2}+3x+9-9=-9$$

Når du trekker fra 9 fra seg selv har du 0 igjen.

$$9x^{2}+3x=-9$$

Del begge sidene på 9.

$$\frac{9x^{2}+3x}{9}=-\frac{9}{9}$$

Hvis du deler på 9, gjør du om gangingen med 9.

$$x^{2}+\frac{3}{9}x=-\frac{9}{9}$$

Forkort brøken \frac{3}{9} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-\frac{9}{9}$$

Del -9 på 9.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-1$$

Del \frac{1}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{1}{6}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{1}{6} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{1}{6} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=-1+\frac{1}{36}$$

Legg sammen -1 og \frac{1}{36}.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=-\frac{35}{36}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=-\frac{35}{36}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{35}{36}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{35}i}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{35}i}{6}$$

Trekk fra \frac{1}{6} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{-1+\sqrt{35}i}{6} x=\frac{-\sqrt{35}i-1}{6}$$