Løs 9x^2+12x-24=0

$$9 x ^ { 2 } + 12 x - 24 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{2 \sqrt{7} - 2}{3} \approx 1,097167541$$

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-2}{3}\approx -2,430500874$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$9x^{2}+12x-24=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 9 for a, 12 for b og -24 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 9\left(-24\right)}}{2\times 9}$$

Kvadrer 12.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 9\left(-24\right)}}{2\times 9}$$

Multipliser -4 ganger 9.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-36\left(-24\right)}}{2\times 9}$$

Multipliser -36 ganger -24.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+864}}{2\times 9}$$

Legg sammen 144 og 864.

$$x=\frac{-12±\sqrt{1008}}{2\times 9}$$

Ta kvadratroten av 1008.

$$x=\frac{-12±12\sqrt{7}}{2\times 9}$$

Multipliser 2 ganger 9.

$$x=\frac{-12±12\sqrt{7}}{18}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-12±12\sqrt{7}}{18} når ± er pluss. Legg sammen -12 og 12\sqrt{7}.

$$x=\frac{12\sqrt{7}-12}{18}$$

Del -12+12\sqrt{7} på 18.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-2}{3}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-12±12\sqrt{7}}{18} når ± er minus. Trekk fra 12\sqrt{7} fra -12.

$$x=\frac{-12\sqrt{7}-12}{18}$$

Del -12-12\sqrt{7} på 18.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-2}{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-2}{3} x=\frac{-2\sqrt{7}-2}{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+12x-24=0$$

Legg til 24 på begge sider av ligningen.

$$9x^{2}+12x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

Når du trekker fra -24 fra seg selv har du 0 igjen.

$$9x^{2}+12x=-\left(-24\right)$$

Trekk fra -24 fra 0.

$$9x^{2}+12x=24$$

Del begge sidene på 9.

$$\frac{9x^{2}+12x}{9}=\frac{24}{9}$$

Hvis du deler på 9, gjør du om gangingen med 9.

$$x^{2}+\frac{12}{9}x=\frac{24}{9}$$

Forkort brøken \frac{12}{9} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{24}{9}$$

Forkort brøken \frac{24}{9} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{8}{3}$$

Del \frac{4}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{2}{3}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{2}{3} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{2}{3} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{8}{3}+\frac{4}{9}$$

Legg sammen \frac{8}{3} og \frac{4}{9} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{28}{9}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{28}{9}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{28}{9}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{2\sqrt{7}}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{2\sqrt{7}}{3}$$

Trekk fra \frac{2}{3} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-2}{3} x=\frac{-2\sqrt{7}-2}{3}$$