Løs 9t^2+6t+1=0

$$9 t ^ { 2 } + 6 t + 1 = 0$$

Løs for t

$$t=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 9t^{2}+at+bt+1. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=6 ab=9\times 1=9$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er positiv, er a og b positive. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 9.

$$1,9 3,3$$

Beregn summen for hvert par.

$$1+9=10 3+3=6$$

Løsningen er paret som gir Summer 6.

$$a=3 b=3$$

Skriv om 9t^{2}+6t+1 som \left(9t^{2}+3t\right)+\left(3t+1\right).

$$\left(9t^{2}+3t\right)+\left(3t+1\right)$$

Faktorer ut 3t i 9t^{2}+3t.

$$3t\left(3t+1\right)+3t+1$$

Faktorer ut det felles leddet 3t+1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(3t+1\right)\left(3t+1\right)$$

Skriv på nytt som et binomialt kvadrat.

$$\left(3t+1\right)^{2}$$

Hvis du vil finne formelløsningen, kan du løse 3t+1=0.

$$t=-\frac{1}{3}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$9t^{2}+6t+1=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 9 for a, 6 for b og 1 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 9}}{2\times 9}$$

Kvadrer 6.

$$t=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 9}}{2\times 9}$$

Multipliser -4 ganger 9.

$$t=\frac{-6±\sqrt{36-36}}{2\times 9}$$

Legg sammen 36 og -36.

$$t=\frac{-6±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Ta kvadratroten av 0.

$$t=-\frac{6}{2\times 9}$$

Multipliser 2 ganger 9.

$$t=-\frac{6}{18}$$

Forkort brøken \frac{-6}{18} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 6.

$$t=-\frac{1}{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$9t^{2}+6t+1=0$$

Trekk fra 1 fra begge sider av ligningen.

$$9t^{2}+6t+1-1=-1$$

Når du trekker fra 1 fra seg selv har du 0 igjen.

$$9t^{2}+6t=-1$$

Del begge sidene på 9.

$$\frac{9t^{2}+6t}{9}=-\frac{1}{9}$$

Hvis du deler på 9, gjør du om gangingen med 9.

$$t^{2}+\frac{6}{9}t=-\frac{1}{9}$$

Forkort brøken \frac{6}{9} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 3.

$$t^{2}+\frac{2}{3}t=-\frac{1}{9}$$

Del \frac{2}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{1}{3}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{1}{3} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$t^{2}+\frac{2}{3}t+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{9}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{1}{3} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$t^{2}+\frac{2}{3}t+\frac{1}{9}=\frac{-1+1}{9}$$

Legg sammen -\frac{1}{9} og \frac{1}{9} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$t^{2}+\frac{2}{3}t+\frac{1}{9}=0$$

Faktoriser t^{2}+\frac{2}{3}t+\frac{1}{9}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{1}{3}\right)^{2}=0$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(t+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Forenkle.

$$t+\frac{1}{3}=0 t+\frac{1}{3}=0$$

Trekk fra \frac{1}{3} fra begge sider av ligningen.

$$t=-\frac{1}{3} t=-\frac{1}{3}$$

Ligningen er nå løst. Løsninger er de samme.

$$t=-\frac{1}{3}$$