Løs 9n^2-33n-1456=0

$$9 n ^ { 2 } - 33 n - 1456 = 0$$

Løs for n

$$n = \frac{\sqrt{5945} + 11}{6} \approx 14,683971017$$

$$n=\frac{11-\sqrt{5945}}{6}\approx -11,017304351$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$9n^{2}-33n-1456=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 9 for a, -33 for b og -1456 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{\left(-33\right)^{2}-4\times 9\left(-1456\right)}}{2\times 9}$$

Kvadrer -33.

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089-4\times 9\left(-1456\right)}}{2\times 9}$$

Multipliser -4 ganger 9.

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089-36\left(-1456\right)}}{2\times 9}$$

Multipliser -36 ganger -1456.

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089+52416}}{2\times 9}$$

Legg sammen 1089 og 52416.

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{53505}}{2\times 9}$$

Ta kvadratroten av 53505.

$$n=\frac{-\left(-33\right)±3\sqrt{5945}}{2\times 9}$$

Det motsatte av -33 er 33.

$$n=\frac{33±3\sqrt{5945}}{2\times 9}$$

Multipliser 2 ganger 9.

$$n=\frac{33±3\sqrt{5945}}{18}$$

Nå kan du løse formelen n=\frac{33±3\sqrt{5945}}{18} når ± er pluss. Legg sammen 33 og 3\sqrt{5945}.

$$n=\frac{3\sqrt{5945}+33}{18}$$

Del 33+3\sqrt{5945} på 18.

$$n=\frac{\sqrt{5945}+11}{6}$$

Nå kan du løse formelen n=\frac{33±3\sqrt{5945}}{18} når ± er minus. Trekk fra 3\sqrt{5945} fra 33.

$$n=\frac{33-3\sqrt{5945}}{18}$$

Del 33-3\sqrt{5945} på 18.

$$n=\frac{11-\sqrt{5945}}{6}$$

Ligningen er nå løst.

$$n=\frac{\sqrt{5945}+11}{6} n=\frac{11-\sqrt{5945}}{6}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$9n^{2}-33n-1456=0$$

Legg til 1456 på begge sider av ligningen.

$$9n^{2}-33n-1456-\left(-1456\right)=-\left(-1456\right)$$

Når du trekker fra -1456 fra seg selv har du 0 igjen.

$$9n^{2}-33n=-\left(-1456\right)$$

Trekk fra -1456 fra 0.

$$9n^{2}-33n=1456$$

Del begge sidene på 9.

$$\frac{9n^{2}-33n}{9}=\frac{1456}{9}$$

Hvis du deler på 9, gjør du om gangingen med 9.

$$n^{2}+\left(-\frac{33}{9}\right)n=\frac{1456}{9}$$

Forkort brøken \frac{-33}{9} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 3.

$$n^{2}-\frac{11}{3}n=\frac{1456}{9}$$

Del -\frac{11}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{11}{6}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{11}{6} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$n^{2}-\frac{11}{3}n+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{1456}{9}+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{11}{6} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$n^{2}-\frac{11}{3}n+\frac{121}{36}=\frac{1456}{9}+\frac{121}{36}$$

Legg sammen \frac{1456}{9} og \frac{121}{36} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$n^{2}-\frac{11}{3}n+\frac{121}{36}=\frac{5945}{36}$$

Faktoriser n^{2}-\frac{11}{3}n+\frac{121}{36}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{5945}{36}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5945}{36}}$$

Forenkle.

$$n-\frac{11}{6}=\frac{\sqrt{5945}}{6} n-\frac{11}{6}=-\frac{\sqrt{5945}}{6}$$

Legg til \frac{11}{6} på begge sider av ligningen.

$$n=\frac{\sqrt{5945}+11}{6} n=\frac{11-\sqrt{5945}}{6}$$