Løs 9n^2-3n-8=10

$$9 n ^ { 2 } - 3 n - 8 = 10$$

Løs for n

$$n = \frac{\sqrt{73} + 1}{6} \approx 1,590667291$$

$$n=\frac{1-\sqrt{73}}{6}\approx -1,257333958$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$9n^{2}-3n-8=10$$

Trekk fra 10 fra begge sider av ligningen.

$$9n^{2}-3n-8-10=10-10$$

Når du trekker fra 10 fra seg selv har du 0 igjen.

$$9n^{2}-3n-8-10=0$$

Trekk fra 10 fra -8.

$$9n^{2}-3n-18=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 9 for a, -3 for b og -18 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 9\left(-18\right)}}{2\times 9}$$

Kvadrer -3.

$$n=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 9\left(-18\right)}}{2\times 9}$$

Multipliser -4 ganger 9.

$$n=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-36\left(-18\right)}}{2\times 9}$$

Multipliser -36 ganger -18.

$$n=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+648}}{2\times 9}$$

Legg sammen 9 og 648.

$$n=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{657}}{2\times 9}$$

Ta kvadratroten av 657.

$$n=\frac{-\left(-3\right)±3\sqrt{73}}{2\times 9}$$

Det motsatte av -3 er 3.

$$n=\frac{3±3\sqrt{73}}{2\times 9}$$

Multipliser 2 ganger 9.

$$n=\frac{3±3\sqrt{73}}{18}$$

Nå kan du løse formelen n=\frac{3±3\sqrt{73}}{18} når ± er pluss. Legg sammen 3 og 3\sqrt{73}.

$$n=\frac{3\sqrt{73}+3}{18}$$

Del 3+3\sqrt{73} på 18.

$$n=\frac{\sqrt{73}+1}{6}$$

Nå kan du løse formelen n=\frac{3±3\sqrt{73}}{18} når ± er minus. Trekk fra 3\sqrt{73} fra 3.

$$n=\frac{3-3\sqrt{73}}{18}$$

Del 3-3\sqrt{73} på 18.

$$n=\frac{1-\sqrt{73}}{6}$$

Ligningen er nå løst.

$$n=\frac{\sqrt{73}+1}{6} n=\frac{1-\sqrt{73}}{6}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$9n^{2}-3n-8=10$$

Legg til 8 på begge sider av ligningen.

$$9n^{2}-3n-8-\left(-8\right)=10-\left(-8\right)$$

Når du trekker fra -8 fra seg selv har du 0 igjen.

$$9n^{2}-3n=10-\left(-8\right)$$

Trekk fra -8 fra 10.

$$9n^{2}-3n=18$$

Del begge sidene på 9.

$$\frac{9n^{2}-3n}{9}=\frac{18}{9}$$

Hvis du deler på 9, gjør du om gangingen med 9.

$$n^{2}+\left(-\frac{3}{9}\right)n=\frac{18}{9}$$

Forkort brøken \frac{-3}{9} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 3.

$$n^{2}-\frac{1}{3}n=\frac{18}{9}$$

Del 18 på 9.

$$n^{2}-\frac{1}{3}n=2$$

Del -\frac{1}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{1}{6}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{1}{6} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$n^{2}-\frac{1}{3}n+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{1}{6} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$n^{2}-\frac{1}{3}n+\frac{1}{36}=2+\frac{1}{36}$$

Legg sammen 2 og \frac{1}{36}.

$$n^{2}-\frac{1}{3}n+\frac{1}{36}=\frac{73}{36}$$

Faktoriser n^{2}-\frac{1}{3}n+\frac{1}{36}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{73}{36}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{73}{36}}$$

Forenkle.

$$n-\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{73}}{6} n-\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{73}}{6}$$

Legg til \frac{1}{6} på begge sider av ligningen.

$$n=\frac{\sqrt{73}+1}{6} n=\frac{1-\sqrt{73}}{6}$$