Løs 9n^2-23n+20=3n^2

$$9 n ^ { 2 } - 23 n + 20 = 3 n ^ { 2 }$$

Løs for n

$$n = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

$$n = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Trekk fra 3n^{2} fra begge sider.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Kombiner 9n^{2} og -3n^{2} for å få 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

For å løse ligningen faktoriserer du venstre side ved å gruppere. Først må venstre side omskrives som 6n^{2}+an+bn+20. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-23 ab=6\times 20=120$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Løsningen er paret som gir Summer -23.

$$a=-15 b=-8$$

Skriv om 6n^{2}-23n+20 som \left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right).

$$\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)$$

Faktor ut 3n i den første og -4 i den andre gruppen.

$$3n\left(2n-5\right)-4\left(2n-5\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 2n-5 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(2n-5\right)\left(3n-4\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 2n-5=0 og 3n-4=0.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Trekk fra 3n^{2} fra begge sider.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Kombiner 9n^{2} og -3n^{2} for å få 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 6 for a, -23 for b og 20 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Kvadrer -23.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Multipliser -4 ganger 6.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-24\times 20}}{2\times 6}$$

Multipliser -24 ganger 20.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-480}}{2\times 6}$$

Legg sammen 529 og -480.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Ta kvadratroten av 49.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±7}{2\times 6}$$

Det motsatte av -23 er 23.

$$n=\frac{23±7}{2\times 6}$$

Multipliser 2 ganger 6.

$$n=\frac{23±7}{12}$$

Nå kan du løse formelen n=\frac{23±7}{12} når ± er pluss. Legg sammen 23 og 7.

$$n=\frac{30}{12}$$

Forkort brøken \frac{30}{12} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 6.

$$n=\frac{5}{2}$$

Nå kan du løse formelen n=\frac{23±7}{12} når ± er minus. Trekk fra 7 fra 23.

$$n=\frac{16}{12}$$

Forkort brøken \frac{16}{12} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 4.

$$n=\frac{4}{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Trekk fra 3n^{2} fra begge sider.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Kombiner 9n^{2} og -3n^{2} for å få 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Trekk fra 20 fra begge sider. Hvilket som helst tall trukket fra null gir sin negasjon.

$$6n^{2}-23n=-20$$

Del begge sidene på 6.

$$\frac{6n^{2}-23n}{6}=-\frac{20}{6}$$

Hvis du deler på 6, gjør du om gangingen med 6.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{20}{6}$$

Forkort brøken \frac{-20}{6} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{10}{3}$$

Divider -\frac{23}{6}, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få -\frac{23}{12}. Legg deretter til kvadratet av -\frac{23}{12} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{23}{12} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=-\frac{10}{3}+\frac{529}{144}$$

Legg sammen -\frac{10}{3} og \frac{529}{144} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=\frac{49}{144}$$

Faktoriser n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Forenkle.

$$n-\frac{23}{12}=\frac{7}{12} n-\frac{23}{12}=-\frac{7}{12}$$

Legg til \frac{23}{12} på begge sider av ligningen.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$