Løs 9a^2+24a+16=0

$$9 a ^ { 2 } + 24 a + 16 = 0$$

Løs for a

$$a = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1,333333333$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 9a^{2}+aa+ba+16. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=24 ab=9\times 16=144$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er positiv, er a og b positive. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 144.

$$1,144 2,72 3,48 4,36 6,24 8,18 9,16 12,12$$

Beregn summen for hvert par.

$$1+144=145 2+72=74 3+48=51 4+36=40 6+24=30 8+18=26 9+16=25 12+12=24$$

Løsningen er paret som gir Summer 24.

$$a=12 b=12$$

Skriv om 9a^{2}+24a+16 som \left(9a^{2}+12a\right)+\left(12a+16\right).

$$\left(9a^{2}+12a\right)+\left(12a+16\right)$$

Faktor ut 3a i den første og 4 i den andre gruppen.

$$3a\left(3a+4\right)+4\left(3a+4\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 3a+4 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(3a+4\right)\left(3a+4\right)$$

Skriv på nytt som et binomialt kvadrat.

$$\left(3a+4\right)^{2}$$

Hvis du vil finne formelløsningen, kan du løse 3a+4=0.

$$a=-\frac{4}{3}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$9a^{2}+24a+16=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 9 for a, 24 for b og 16 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\times 9\times 16}}{2\times 9}$$

Kvadrer 24.

$$a=\frac{-24±\sqrt{576-4\times 9\times 16}}{2\times 9}$$

Multipliser -4 ganger 9.

$$a=\frac{-24±\sqrt{576-36\times 16}}{2\times 9}$$

Multipliser -36 ganger 16.

$$a=\frac{-24±\sqrt{576-576}}{2\times 9}$$

Legg sammen 576 og -576.

$$a=\frac{-24±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Ta kvadratroten av 0.

$$a=-\frac{24}{2\times 9}$$

Multipliser 2 ganger 9.

$$a=-\frac{24}{18}$$

Forkort brøken \frac{-24}{18} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 6.

$$a=-\frac{4}{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$9a^{2}+24a+16=0$$

Trekk fra 16 fra begge sider av ligningen.

$$9a^{2}+24a+16-16=-16$$

Når du trekker fra 16 fra seg selv har du 0 igjen.

$$9a^{2}+24a=-16$$

Del begge sidene på 9.

$$\frac{9a^{2}+24a}{9}=-\frac{16}{9}$$

Hvis du deler på 9, gjør du om gangingen med 9.

$$a^{2}+\frac{24}{9}a=-\frac{16}{9}$$

Forkort brøken \frac{24}{9} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 3.

$$a^{2}+\frac{8}{3}a=-\frac{16}{9}$$

Del \frac{8}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{4}{3}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{4}{3} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$a^{2}+\frac{8}{3}a+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{16}{9}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{4}{3} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$a^{2}+\frac{8}{3}a+\frac{16}{9}=\frac{-16+16}{9}$$

Legg sammen -\frac{16}{9} og \frac{16}{9} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$a^{2}+\frac{8}{3}a+\frac{16}{9}=0$$

Faktoriser a^{2}+\frac{8}{3}a+\frac{16}{9}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a+\frac{4}{3}\right)^{2}=0$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(a+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Forenkle.

$$a+\frac{4}{3}=0 a+\frac{4}{3}=0$$

Trekk fra \frac{4}{3} fra begge sider av ligningen.

$$a=-\frac{4}{3} a=-\frac{4}{3}$$

Ligningen er nå løst. Løsninger er de samme.

$$a=-\frac{4}{3}$$