Løs 9x^2-30x+25=0

$$9 { x }^{ 2 } -30x+25=0$$

Løs for x

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen faktoriserer du venstre side ved å gruppere. Først må venstre side omskrives som 9x^{2}+ax+bx+25. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-30 ab=9\times 25=225$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 225.

$$-1,-225 -3,-75 -5,-45 -9,-25 -15,-15$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-225=-226 -3-75=-78 -5-45=-50 -9-25=-34 -15-15=-30$$

Løsningen er paret som gir Summer -30.

$$a=-15 b=-15$$

Skriv om 9x^{2}-30x+25 som \left(9x^{2}-15x\right)+\left(-15x+25\right).

$$\left(9x^{2}-15x\right)+\left(-15x+25\right)$$

Faktor ut 3x i den første og -5 i den andre gruppen.

$$3x\left(3x-5\right)-5\left(3x-5\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 3x-5 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(3x-5\right)\left(3x-5\right)$$

Skriv på nytt som et binomialt kvadrat.

$$\left(3x-5\right)^{2}$$

Hvis du vil finne formelløsningen, kan du løse 3x-5=0.

$$x=\frac{5}{3}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$9x^{2}-30x+25=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 9 for a, -30 for b og 25 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

Kvadrer -30.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

Multipliser -4 ganger 9.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-36\times 25}}{2\times 9}$$

Multipliser -36 ganger 25.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-900}}{2\times 9}$$

Legg sammen 900 og -900.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Ta kvadratroten av 0.

$$x=-\frac{-30}{2\times 9}$$

Det motsatte av -30 er 30.

$$x=\frac{30}{2\times 9}$$

Multipliser 2 ganger 9.

$$x=\frac{30}{18}$$

Forkort brøken \frac{30}{18} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 6.

$$x=\frac{5}{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-30x+25=0$$

Trekk fra 25 fra begge sider av ligningen.

$$9x^{2}-30x+25-25=-25$$

Når du trekker fra 25 fra seg selv har du 0 igjen.

$$9x^{2}-30x=-25$$

Del begge sidene på 9.

$$\frac{9x^{2}-30x}{9}=-\frac{25}{9}$$

Hvis du deler på 9, gjør du om gangingen med 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{9}\right)x=-\frac{25}{9}$$

Forkort brøken \frac{-30}{9} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=-\frac{25}{9}$$

Divider -\frac{10}{3}, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få -\frac{5}{3}. Legg deretter til kvadratet av -\frac{5}{3} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{25}{9}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{5}{3} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{-25+25}{9}$$

Legg sammen -\frac{25}{9} og \frac{25}{9} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=0$$

Faktoriser x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=0$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Forenkle.

$$x-\frac{5}{3}=0 x-\frac{5}{3}=0$$

Legg til \frac{5}{3} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{5}{3} x=\frac{5}{3}$$

Ligningen er nå løst. Løsninger er de samme.

$$x=\frac{5}{3}$$