Løs 9x^2-12x+4=0

$$9 { x }^{ 2 } -12x+4=0$$

Løs for x

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 9x^{2}+ax+bx+4. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-12 ab=9\times 4=36$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 36.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

Løsningen er paret som gir Summer -12.

$$a=-6 b=-6$$

Skriv om 9x^{2}-12x+4 som \left(9x^{2}-6x\right)+\left(-6x+4\right).

$$\left(9x^{2}-6x\right)+\left(-6x+4\right)$$

Faktor ut 3x i den første og -2 i den andre gruppen.

$$3x\left(3x-2\right)-2\left(3x-2\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 3x-2 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(3x-2\right)\left(3x-2\right)$$

Skriv på nytt som et binomialt kvadrat.

$$\left(3x-2\right)^{2}$$

Hvis du vil finne formelløsningen, kan du løse 3x-2=0.

$$x=\frac{2}{3}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$9x^{2}-12x+4=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 9 for a, -12 for b og 4 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Kvadrer -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Multipliser -4 ganger 9.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 4}}{2\times 9}$$

Multipliser -36 ganger 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-144}}{2\times 9}$$

Legg sammen 144 og -144.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Ta kvadratroten av 0.

$$x=-\frac{-12}{2\times 9}$$

Det motsatte av -12 er 12.

$$x=\frac{12}{2\times 9}$$

Multipliser 2 ganger 9.

$$x=\frac{12}{18}$$

Forkort brøken \frac{12}{18} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 6.

$$x=\frac{2}{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-12x+4=0$$

Trekk fra 4 fra begge sider av ligningen.

$$9x^{2}-12x+4-4=-4$$

Når du trekker fra 4 fra seg selv har du 0 igjen.

$$9x^{2}-12x=-4$$

Del begge sidene på 9.

$$\frac{9x^{2}-12x}{9}=-\frac{4}{9}$$

Hvis du deler på 9, gjør du om gangingen med 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)x=-\frac{4}{9}$$

Forkort brøken \frac{-12}{9} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{4}{9}$$

Del -\frac{4}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{2}{3}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{2}{3} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{2}{3} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{-4+4}{9}$$

Legg sammen -\frac{4}{9} og \frac{4}{9} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=0$$

Faktoriser x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=0$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Forenkle.

$$x-\frac{2}{3}=0 x-\frac{2}{3}=0$$

Legg til \frac{2}{3} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{2}{3} x=\frac{2}{3}$$

Ligningen er nå løst. Løsninger er de samme.

$$x=\frac{2}{3}$$