Løs 9x^2-12x+10=0

$$9 { x }^{ 2 } -12x+10=0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{2+\sqrt{6}i}{3}\approx 0,666666667+0,816496581i$$

$$x=\frac{-\sqrt{6}i+2}{3}\approx 0,666666667-0,816496581i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$9x^{2}-12x+10=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 9 for a, -12 for b og 10 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 10}}{2\times 9}$$

Kvadrer -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 10}}{2\times 9}$$

Multipliser -4 ganger 9.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 10}}{2\times 9}$$

Multipliser -36 ganger 10.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-360}}{2\times 9}$$

Legg sammen 144 og -360.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{-216}}{2\times 9}$$

Ta kvadratroten av -216.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{6}i}{2\times 9}$$

Det motsatte av -12 er 12.

$$x=\frac{12±6\sqrt{6}i}{2\times 9}$$

Multipliser 2 ganger 9.

$$x=\frac{12±6\sqrt{6}i}{18}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{12±6\sqrt{6}i}{18} når ± er pluss. Legg sammen 12 og 6i\sqrt{6}.

$$x=\frac{12+6\sqrt{6}i}{18}$$

Del 12+6i\sqrt{6} på 18.

$$x=\frac{2+\sqrt{6}i}{3}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{12±6\sqrt{6}i}{18} når ± er minus. Trekk fra 6i\sqrt{6} fra 12.

$$x=\frac{-6\sqrt{6}i+12}{18}$$

Del 12-6i\sqrt{6} på 18.

$$x=\frac{-\sqrt{6}i+2}{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{2+\sqrt{6}i}{3} x=\frac{-\sqrt{6}i+2}{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-12x+10=0$$

Trekk fra 10 fra begge sider av ligningen.

$$9x^{2}-12x+10-10=-10$$

Når du trekker fra 10 fra seg selv har du 0 igjen.

$$9x^{2}-12x=-10$$

Del begge sidene på 9.

$$\frac{9x^{2}-12x}{9}=-\frac{10}{9}$$

Hvis du deler på 9, gjør du om gangingen med 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)x=-\frac{10}{9}$$

Forkort brøken \frac{-12}{9} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{10}{9}$$

Del -\frac{4}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{2}{3}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{2}{3} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{10}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{2}{3} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{-10+4}{9}$$

Legg sammen -\frac{10}{9} og \frac{4}{9} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{2}{3}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{3}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2}{3}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{6}i}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{6}i}{3}$$

Legg til \frac{2}{3} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{2+\sqrt{6}i}{3} x=\frac{-\sqrt{6}i+2}{3}$$