Løs 9x^2+14x-8=0

$$9 { x }^{ 2 } +14x-8=0$$

Løs for x

$$x=-2$$

$$x=\frac{4}{9}\approx 0,444444444$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 9x^{2}+ax+bx-8. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=14 ab=9\left(-8\right)=-72$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

Løsningen er paret som gir Summer 14.

$$a=-4 b=18$$

Skriv om 9x^{2}+14x-8 som \left(9x^{2}-4x\right)+\left(18x-8\right).

$$\left(9x^{2}-4x\right)+\left(18x-8\right)$$

Faktor ut x i den første og 2 i den andre gruppen.

$$x\left(9x-4\right)+2\left(9x-4\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 9x-4 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(9x-4\right)\left(x+2\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 9x-4=0 og x+2=0.

$$x=\frac{4}{9} x=-2$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$9x^{2}+14x-8=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 9 for a, 14 for b og -8 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 9\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

Kvadrer 14.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 9\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

Multipliser -4 ganger 9.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-36\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

Multipliser -36 ganger -8.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+288}}{2\times 9}$$

Legg sammen 196 og 288.

$$x=\frac{-14±\sqrt{484}}{2\times 9}$$

Ta kvadratroten av 484.

$$x=\frac{-14±22}{2\times 9}$$

Multipliser 2 ganger 9.

$$x=\frac{-14±22}{18}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-14±22}{18} når ± er pluss. Legg sammen -14 og 22.

$$x=\frac{8}{18}$$

Forkort brøken \frac{8}{18} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=\frac{4}{9}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-14±22}{18} når ± er minus. Trekk fra 22 fra -14.

$$x=-\frac{36}{18}$$

Del -36 på 18.

$$x=-2$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{4}{9} x=-2$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+14x-8=0$$

Legg til 8 på begge sider av ligningen.

$$9x^{2}+14x-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

Når du trekker fra -8 fra seg selv har du 0 igjen.

$$9x^{2}+14x=-\left(-8\right)$$

Trekk fra -8 fra 0.

$$9x^{2}+14x=8$$

Del begge sidene på 9.

$$\frac{9x^{2}+14x}{9}=\frac{8}{9}$$

Hvis du deler på 9, gjør du om gangingen med 9.

$$x^{2}+\frac{14}{9}x=\frac{8}{9}$$

Del \frac{14}{9}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{7}{9}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{7}{9} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{14}{9}x+\left(\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{8}{9}+\left(\frac{7}{9}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{7}{9} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{8}{9}+\frac{49}{81}$$

Legg sammen \frac{8}{9} og \frac{49}{81} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{121}{81}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{121}{81}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{81}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{7}{9}=\frac{11}{9} x+\frac{7}{9}=-\frac{11}{9}$$

Trekk fra \frac{7}{9} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{4}{9} x=-2$$