Løs 9c^2-9c+2=0

$$9 { c }^{ 2 } -9c+2 = 0$$

Løs for c

$$c=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

$$c=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 9c^{2}+ac+bc+2. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-9 ab=9\times 2=18$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 18.

$$-1,-18 -2,-9 -3,-6$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-18=-19 -2-9=-11 -3-6=-9$$

Løsningen er paret som gir Summer -9.

$$a=-6 b=-3$$

Skriv om 9c^{2}-9c+2 som \left(9c^{2}-6c\right)+\left(-3c+2\right).

$$\left(9c^{2}-6c\right)+\left(-3c+2\right)$$

Faktor ut 3c i den første og -1 i den andre gruppen.

$$3c\left(3c-2\right)-\left(3c-2\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 3c-2 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(3c-2\right)\left(3c-1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 3c-2=0 og 3c-1=0.

$$c=\frac{2}{3} c=\frac{1}{3}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$9c^{2}-9c+2=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 9 for a, -9 for b og 2 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$c=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

Kvadrer -9.

$$c=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

Multipliser -4 ganger 9.

$$c=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-36\times 2}}{2\times 9}$$

Multipliser -36 ganger 2.

$$c=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-72}}{2\times 9}$$

Legg sammen 81 og -72.

$$c=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{9}}{2\times 9}$$

Ta kvadratroten av 9.

$$c=\frac{-\left(-9\right)±3}{2\times 9}$$

Det motsatte av -9 er 9.

$$c=\frac{9±3}{2\times 9}$$

Multipliser 2 ganger 9.

$$c=\frac{9±3}{18}$$

Nå kan du løse formelen c=\frac{9±3}{18} når ± er pluss. Legg sammen 9 og 3.

$$c=\frac{12}{18}$$

Forkort brøken \frac{12}{18} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 6.

$$c=\frac{2}{3}$$

Nå kan du løse formelen c=\frac{9±3}{18} når ± er minus. Trekk fra 3 fra 9.

$$c=\frac{6}{18}$$

Forkort brøken \frac{6}{18} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 6.

$$c=\frac{1}{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$c=\frac{2}{3} c=\frac{1}{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$9c^{2}-9c+2=0$$

Trekk fra 2 fra begge sider av ligningen.

$$9c^{2}-9c+2-2=-2$$

Når du trekker fra 2 fra seg selv har du 0 igjen.

$$9c^{2}-9c=-2$$

Del begge sidene på 9.

$$\frac{9c^{2}-9c}{9}=-\frac{2}{9}$$

Hvis du deler på 9, gjør du om gangingen med 9.

$$c^{2}+\left(-\frac{9}{9}\right)c=-\frac{2}{9}$$

Del -9 på 9.

$$c^{2}-c=-\frac{2}{9}$$

Del -1, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{1}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{1}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$c^{2}-c+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{2}{9}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{1}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$c^{2}-c+\frac{1}{4}=-\frac{2}{9}+\frac{1}{4}$$

Legg sammen -\frac{2}{9} og \frac{1}{4} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$c^{2}-c+\frac{1}{4}=\frac{1}{36}$$

Faktoriser c^{2}-c+\frac{1}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(c-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(c-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

Forenkle.

$$c-\frac{1}{2}=\frac{1}{6} c-\frac{1}{2}=-\frac{1}{6}$$

Legg til \frac{1}{2} på begge sider av ligningen.

$$c=\frac{2}{3} c=\frac{1}{3}$$