Løs 89x^2-6x+40=0

$$89 x ^ { 2 } - 6 x + 40 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{3+\sqrt{3551}i}{89}\approx 0,033707865+0,669553569i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3551}i+3}{89}\approx 0,033707865-0,669553569i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$89x^{2}-6x+40=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 89 for a, -6 for b og 40 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 89\times 40}}{2\times 89}$$

Kvadrer -6.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 89\times 40}}{2\times 89}$$

Multipliser -4 ganger 89.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-356\times 40}}{2\times 89}$$

Multipliser -356 ganger 40.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-14240}}{2\times 89}$$

Legg sammen 36 og -14240.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{-14204}}{2\times 89}$$

Ta kvadratroten av -14204.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{3551}i}{2\times 89}$$

Det motsatte av -6 er 6.

$$x=\frac{6±2\sqrt{3551}i}{2\times 89}$$

Multipliser 2 ganger 89.

$$x=\frac{6±2\sqrt{3551}i}{178}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{6±2\sqrt{3551}i}{178} når ± er pluss. Legg sammen 6 og 2i\sqrt{3551}.

$$x=\frac{6+2\sqrt{3551}i}{178}$$

Del 6+2i\sqrt{3551} på 178.

$$x=\frac{3+\sqrt{3551}i}{89}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{6±2\sqrt{3551}i}{178} når ± er minus. Trekk fra 2i\sqrt{3551} fra 6.

$$x=\frac{-2\sqrt{3551}i+6}{178}$$

Del 6-2i\sqrt{3551} på 178.

$$x=\frac{-\sqrt{3551}i+3}{89}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{3+\sqrt{3551}i}{89} x=\frac{-\sqrt{3551}i+3}{89}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$89x^{2}-6x+40=0$$

Trekk fra 40 fra begge sider av ligningen.

$$89x^{2}-6x+40-40=-40$$

Når du trekker fra 40 fra seg selv har du 0 igjen.

$$89x^{2}-6x=-40$$

Del begge sidene på 89.

$$\frac{89x^{2}-6x}{89}=-\frac{40}{89}$$

Hvis du deler på 89, gjør du om gangingen med 89.

$$x^{2}-\frac{6}{89}x=-\frac{40}{89}$$

Del -\frac{6}{89}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{3}{89}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{3}{89} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{6}{89}x+\left(-\frac{3}{89}\right)^{2}=-\frac{40}{89}+\left(-\frac{3}{89}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{3}{89} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{6}{89}x+\frac{9}{7921}=-\frac{40}{89}+\frac{9}{7921}$$

Legg sammen -\frac{40}{89} og \frac{9}{7921} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{6}{89}x+\frac{9}{7921}=-\frac{3551}{7921}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{6}{89}x+\frac{9}{7921}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{89}\right)^{2}=-\frac{3551}{7921}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{89}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3551}{7921}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{3}{89}=\frac{\sqrt{3551}i}{89} x-\frac{3}{89}=-\frac{\sqrt{3551}i}{89}$$

Legg til \frac{3}{89} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{3+\sqrt{3551}i}{89} x=\frac{-\sqrt{3551}i+3}{89}$$