Løs 81x^2-90x+25

$$81 x ^ { 2 } - 90 x + 25$$

Faktoriser

$$\left(9x-5\right)^{2}$$

Løsningstrinn

Faktor iser uttrykket ved å gruppere. Først må uttrykket omskrives som 81x^{2}+ax+bx+25. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-90 ab=81\times 25=2025$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 2025.

$$-1,-2025 -3,-675 -5,-405 -9,-225 -15,-135 -25,-81 -27,-75 -45,-45$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-2025=-2026 -3-675=-678 -5-405=-410 -9-225=-234 -15-135=-150 -25-81=-106 -27-75=-102 -45-45=-90$$

Løsningen er paret som gir Summer -90.

$$a=-45 b=-45$$

Skriv om 81x^{2}-90x+25 som \left(81x^{2}-45x\right)+\left(-45x+25\right).

$$\left(81x^{2}-45x\right)+\left(-45x+25\right)$$

Faktor ut 9x i den første og -5 i den andre gruppen.

$$9x\left(9x-5\right)-5\left(9x-5\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 9x-5 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(9x-5\right)\left(9x-5\right)$$

Skriv på nytt som et binomialt kvadrat.

$$\left(9x-5\right)^{2}$$

Fremgangsmåten ved bruk av kvadratet av et binom

Dette trinomet er et trinom i andre potens, kanskje multiplisert med en fellesfaktor. Trinom i andre potens kan faktoriseres ved å finne kvadratroten av ledende og etterfølgende ledd.

$$factor(81x^{2}-90x+25)$$

Finn den største felles faktoren for koeffisientene.

$$gcf(81,-90,25)=1$$

Finn kvadratroten av det ledende leddet, 81x^{2}.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Finn kvadratroten av det etterfølgende leddet, 25.

$$\sqrt{25}=5$$

Trinomisk kvadrat er kvadratet av binomet som er summen av eller forskjellen mellom kvadratroten til ledende og etterfølgende ledd, med tegn som bestemmes av tegnet for midtleddet i trinomkvadratet.

$$\left(9x-5\right)^{2}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$81x^{2}-90x+25=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 81\times 25}}{2\times 81}$$

Kvadrer -90.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 81\times 25}}{2\times 81}$$

Multipliser -4 ganger 81.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-324\times 25}}{2\times 81}$$

Multipliser -324 ganger 25.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-8100}}{2\times 81}$$

Legg sammen 8100 og -8100.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Ta kvadratroten av 0.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±0}{2\times 81}$$

Det motsatte av -90 er 90.

$$x=\frac{90±0}{2\times 81}$$

Multipliser 2 ganger 81.

$$x=\frac{90±0}{162}$$

Faktoriser det opprinnelige uttrykket ved hjelp av ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Erstatt \frac{5}{9} med x_{1} og \frac{5}{9} med x_{2}.

$$81x^{2}-90x+25=81\left(x-\frac{5}{9}\right)\left(x-\frac{5}{9}\right)$$

Trekk fra \frac{5}{9} fra x ved å finne en fellesnevner og trekke fra tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$81x^{2}-90x+25=81\times \frac{9x-5}{9}\left(x-\frac{5}{9}\right)$$

Trekk fra \frac{5}{9} fra x ved å finne en fellesnevner og trekke fra tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$81x^{2}-90x+25=81\times \frac{9x-5}{9}\times \frac{9x-5}{9}$$

Multipliser \frac{9x-5}{9} med \frac{9x-5}{9} ved å multiplisere teller ganger teller og nevner ganger nevner. Forkort deretter brøken om mulig.

$$81x^{2}-90x+25=81\times \frac{\left(9x-5\right)\left(9x-5\right)}{9\times 9}$$

Multipliser 9 ganger 9.

$$81x^{2}-90x+25=81\times \frac{\left(9x-5\right)\left(9x-5\right)}{81}$$

Opphev den største felles faktoren 81 i 81 og 81.

$$81x^{2}-90x+25=\left(9x-5\right)\left(9x-5\right)$$

Evaluer

$$\left(9x-5\right)^{2}$$