Løs 81x^2-54x+9=0

$$81 x ^ { 2 } - 54 x + 9 = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Del begge sidene på 9.

$$9x^{2}-6x+1=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 9x^{2}+ax+bx+1. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-6 ab=9\times 1=9$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 9.

$$-1,-9 -3,-3$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-9=-10 -3-3=-6$$

Løsningen er paret som gir Summer -6.

$$a=-3 b=-3$$

Skriv om 9x^{2}-6x+1 som \left(9x^{2}-3x\right)+\left(-3x+1\right).

$$\left(9x^{2}-3x\right)+\left(-3x+1\right)$$

Faktor ut 3x i den første og -1 i den andre gruppen.

$$3x\left(3x-1\right)-\left(3x-1\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 3x-1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(3x-1\right)\left(3x-1\right)$$

Skriv på nytt som et binomialt kvadrat.

$$\left(3x-1\right)^{2}$$

Hvis du vil finne formelløsningen, kan du løse 3x-1=0.

$$x=\frac{1}{3}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$81x^{2}-54x+9=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 81 for a, -54 for b og 9 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{\left(-54\right)^{2}-4\times 81\times 9}}{2\times 81}$$

Kvadrer -54.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-4\times 81\times 9}}{2\times 81}$$

Multipliser -4 ganger 81.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-324\times 9}}{2\times 81}$$

Multipliser -324 ganger 9.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-2916}}{2\times 81}$$

Legg sammen 2916 og -2916.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Ta kvadratroten av 0.

$$x=-\frac{-54}{2\times 81}$$

Det motsatte av -54 er 54.

$$x=\frac{54}{2\times 81}$$

Multipliser 2 ganger 81.

$$x=\frac{54}{162}$$

Forkort brøken \frac{54}{162} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 54.

$$x=\frac{1}{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$81x^{2}-54x+9=0$$

Trekk fra 9 fra begge sider av ligningen.

$$81x^{2}-54x+9-9=-9$$

Når du trekker fra 9 fra seg selv har du 0 igjen.

$$81x^{2}-54x=-9$$

Del begge sidene på 81.

$$\frac{81x^{2}-54x}{81}=-\frac{9}{81}$$

Hvis du deler på 81, gjør du om gangingen med 81.

$$x^{2}+\left(-\frac{54}{81}\right)x=-\frac{9}{81}$$

Forkort brøken \frac{-54}{81} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 27.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{9}{81}$$

Forkort brøken \frac{-9}{81} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 9.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{1}{9}$$

Del -\frac{2}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{1}{3}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{1}{3} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{9}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{1}{3} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{-1+1}{9}$$

Legg sammen -\frac{1}{9} og \frac{1}{9} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=0$$

Faktoriser x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=0$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Forenkle.

$$x-\frac{1}{3}=0 x-\frac{1}{3}=0$$

Legg til \frac{1}{3} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{1}{3} x=\frac{1}{3}$$

Ligningen er nå løst. Løsninger er de samme.

$$x=\frac{1}{3}$$