Løs 81x^2-180x+100

$$81 x ^ { 2 } - 180 x + 100$$

Faktoriser

$$\left(9x-10\right)^{2}$$

Løsningstrinn

Faktor iser uttrykket ved å gruppere. Først må uttrykket omskrives som 81x^{2}+ax+bx+100. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-180 ab=81\times 100=8100$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 8100.

$$-1,-8100 -2,-4050 -3,-2700 -4,-2025 -5,-1620 -6,-1350 -9,-900 -10,-810 -12,-675 -15,-540 -18,-450 -20,-405 -25,-324 -27,-300 -30,-270 -36,-225 -45,-180 -50,-162 -54,-150 -60,-135 -75,-108 -81,-100 -90,-90$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-8100=-8101 -2-4050=-4052 -3-2700=-2703 -4-2025=-2029 -5-1620=-1625 -6-1350=-1356 -9-900=-909 -10-810=-820 -12-675=-687 -15-540=-555 -18-450=-468 -20-405=-425 -25-324=-349 -27-300=-327 -30-270=-300 -36-225=-261 -45-180=-225 -50-162=-212 -54-150=-204 -60-135=-195 -75-108=-183 -81-100=-181 -90-90=-180$$

Løsningen er paret som gir Summer -180.

$$a=-90 b=-90$$

Skriv om 81x^{2}-180x+100 som \left(81x^{2}-90x\right)+\left(-90x+100\right).

$$\left(81x^{2}-90x\right)+\left(-90x+100\right)$$

Faktor ut 9x i den første og -10 i den andre gruppen.

$$9x\left(9x-10\right)-10\left(9x-10\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 9x-10 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(9x-10\right)\left(9x-10\right)$$

Skriv på nytt som et binomialt kvadrat.

$$\left(9x-10\right)^{2}$$

Fremgangsmåten ved bruk av kvadratet av et binom

Dette trinomet er et trinom i andre potens, kanskje multiplisert med en fellesfaktor. Trinom i andre potens kan faktoriseres ved å finne kvadratroten av ledende og etterfølgende ledd.

$$factor(81x^{2}-180x+100)$$

Finn den største felles faktoren for koeffisientene.

$$gcf(81,-180,100)=1$$

Finn kvadratroten av det ledende leddet, 81x^{2}.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Finn kvadratroten av det etterfølgende leddet, 100.

$$\sqrt{100}=10$$

Trinomisk kvadrat er kvadratet av binomet som er summen av eller forskjellen mellom kvadratroten til ledende og etterfølgende ledd, med tegn som bestemmes av tegnet for midtleddet i trinomkvadratet.

$$\left(9x-10\right)^{2}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$81x^{2}-180x+100=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$x=\frac{-\left(-180\right)±\sqrt{\left(-180\right)^{2}-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Kvadrer -180.

$$x=\frac{-\left(-180\right)±\sqrt{32400-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Multipliser -4 ganger 81.

$$x=\frac{-\left(-180\right)±\sqrt{32400-324\times 100}}{2\times 81}$$

Multipliser -324 ganger 100.

$$x=\frac{-\left(-180\right)±\sqrt{32400-32400}}{2\times 81}$$

Legg sammen 32400 og -32400.

$$x=\frac{-\left(-180\right)±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Ta kvadratroten av 0.

$$x=\frac{-\left(-180\right)±0}{2\times 81}$$

Det motsatte av -180 er 180.

$$x=\frac{180±0}{2\times 81}$$

Multipliser 2 ganger 81.

$$x=\frac{180±0}{162}$$

Faktoriser det opprinnelige uttrykket ved hjelp av ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Erstatt \frac{10}{9} med x_{1} og \frac{10}{9} med x_{2}.

$$81x^{2}-180x+100=81\left(x-\frac{10}{9}\right)\left(x-\frac{10}{9}\right)$$

Trekk fra \frac{10}{9} fra x ved å finne en fellesnevner og trekke fra tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$81x^{2}-180x+100=81\times \frac{9x-10}{9}\left(x-\frac{10}{9}\right)$$

Trekk fra \frac{10}{9} fra x ved å finne en fellesnevner og trekke fra tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$81x^{2}-180x+100=81\times \frac{9x-10}{9}\times \frac{9x-10}{9}$$

Multipliser \frac{9x-10}{9} med \frac{9x-10}{9} ved å multiplisere teller ganger teller og nevner ganger nevner. Forkort deretter brøken om mulig.

$$81x^{2}-180x+100=81\times \frac{\left(9x-10\right)\left(9x-10\right)}{9\times 9}$$

Multipliser 9 ganger 9.

$$81x^{2}-180x+100=81\times \frac{\left(9x-10\right)\left(9x-10\right)}{81}$$

Opphev den største felles faktoren 81 i 81 og 81.

$$81x^{2}-180x+100=\left(9x-10\right)\left(9x-10\right)$$

Evaluer

$$\left(9x-10\right)^{2}$$