Løs 81x^2+180x+100

$$81 x ^ { 2 } + 180 x + 100$$

Faktoriser

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Løsningstrinn

Faktor iser uttrykket ved å gruppere. Først må uttrykket omskrives som 81x^{2}+ax+bx+100. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=180 ab=81\times 100=8100$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er positiv, er a og b positive. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 8100.

$$1,8100 2,4050 3,2700 4,2025 5,1620 6,1350 9,900 10,810 12,675 15,540 18,450 20,405 25,324 27,300 30,270 36,225 45,180 50,162 54,150 60,135 75,108 81,100 90,90$$

Beregn summen for hvert par.

$$1+8100=8101 2+4050=4052 3+2700=2703 4+2025=2029 5+1620=1625 6+1350=1356 9+900=909 10+810=820 12+675=687 15+540=555 18+450=468 20+405=425 25+324=349 27+300=327 30+270=300 36+225=261 45+180=225 50+162=212 54+150=204 60+135=195 75+108=183 81+100=181 90+90=180$$

Løsningen er paret som gir Summer 180.

$$a=90 b=90$$

Skriv om 81x^{2}+180x+100 som \left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right).

$$\left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right)$$

Faktor ut 9x i den første og 10 i den andre gruppen.

$$9x\left(9x+10\right)+10\left(9x+10\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 9x+10 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

Skriv på nytt som et binomialt kvadrat.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Fremgangsmåten ved bruk av kvadratet av et binom

Dette trinomet er et trinom i andre potens, kanskje multiplisert med en fellesfaktor. Trinom i andre potens kan faktoriseres ved å finne kvadratroten av ledende og etterfølgende ledd.

$$factor(81x^{2}+180x+100)$$

Finn den største felles faktoren for koeffisientene.

$$gcf(81,180,100)=1$$

Finn kvadratroten av det ledende leddet, 81x^{2}.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Finn kvadratroten av det etterfølgende leddet, 100.

$$\sqrt{100}=10$$

Trinomisk kvadrat er kvadratet av binomet som er summen av eller forskjellen mellom kvadratroten til ledende og etterfølgende ledd, med tegn som bestemmes av tegnet for midtleddet i trinomkvadratet.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$81x^{2}+180x+100=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$x=\frac{-180±\sqrt{180^{2}-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Kvadrer 180.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Multipliser -4 ganger 81.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-324\times 100}}{2\times 81}$$

Multipliser -324 ganger 100.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-32400}}{2\times 81}$$

Legg sammen 32400 og -32400.

$$x=\frac{-180±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Ta kvadratroten av 0.

$$x=\frac{-180±0}{2\times 81}$$

Multipliser 2 ganger 81.

$$x=\frac{-180±0}{162}$$

Faktoriser det opprinnelige uttrykket ved hjelp av ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Erstatt -\frac{10}{9} med x_{1} og -\frac{10}{9} med x_{2}.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)$$

Forenkle alle uttrykkene i formelen fra p-\left(-q\right)til p+q.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x+\frac{10}{9}\right)\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

Legg sammen \frac{10}{9} og x ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

Legg sammen \frac{10}{9} og x ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\times \frac{9x+10}{9}$$

Multipliser \frac{9x+10}{9} med \frac{9x+10}{9} ved å multiplisere teller ganger teller og nevner ganger nevner. Forkort deretter brøken om mulig.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{9\times 9}$$

Multipliser 9 ganger 9.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{81}$$

Opphev den største felles faktoren 81 i 81 og 81.

$$81x^{2}+180x+100=\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

Evaluer

$$\left(9x+10\right)^{2}$$