Løs 81n^2+18n+1

$$81 n ^ { 2 } + 18 n + 1$$

Faktoriser

$$\left(9n+1\right)^{2}$$

Løsningstrinn

Faktor iser uttrykket ved å gruppere. Først må uttrykket omskrives som 81n^{2}+an+bn+1. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=18 ab=81\times 1=81$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er positiv, er a og b positive. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 81.

$$1,81 3,27 9,9$$

Beregn summen for hvert par.

$$1+81=82 3+27=30 9+9=18$$

Løsningen er paret som gir Summer 18.

$$a=9 b=9$$

Skriv om 81n^{2}+18n+1 som \left(81n^{2}+9n\right)+\left(9n+1\right).

$$\left(81n^{2}+9n\right)+\left(9n+1\right)$$

Faktorer ut 9n i 81n^{2}+9n.

$$9n\left(9n+1\right)+9n+1$$

Faktorer ut det felles leddet 9n+1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(9n+1\right)\left(9n+1\right)$$

Skriv på nytt som et binomialt kvadrat.

$$\left(9n+1\right)^{2}$$

Fremgangsmåten ved bruk av kvadratet av et binom

Dette trinomet er et trinom i andre potens, kanskje multiplisert med en fellesfaktor. Trinom i andre potens kan faktoriseres ved å finne kvadratroten av ledende og etterfølgende ledd.

$$factor(81n^{2}+18n+1)$$

Finn den største felles faktoren for koeffisientene.

$$gcf(81,18,1)=1$$

Finn kvadratroten av det ledende leddet, 81n^{2}.

$$\sqrt{81n^{2}}=9n$$

Trinomisk kvadrat er kvadratet av binomet som er summen av eller forskjellen mellom kvadratroten til ledende og etterfølgende ledd, med tegn som bestemmes av tegnet for midtleddet i trinomkvadratet.

$$\left(9n+1\right)^{2}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$81n^{2}+18n+1=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$n=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\times 81}}{2\times 81}$$

Kvadrer 18.

$$n=\frac{-18±\sqrt{324-4\times 81}}{2\times 81}$$

Multipliser -4 ganger 81.

$$n=\frac{-18±\sqrt{324-324}}{2\times 81}$$

Legg sammen 324 og -324.

$$n=\frac{-18±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Ta kvadratroten av 0.

$$n=\frac{-18±0}{2\times 81}$$

Multipliser 2 ganger 81.

$$n=\frac{-18±0}{162}$$

Faktoriser det opprinnelige uttrykket ved hjelp av ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Erstatt -\frac{1}{9} med x_{1} og -\frac{1}{9} med x_{2}.

$$81n^{2}+18n+1=81\left(n-\left(-\frac{1}{9}\right)\right)\left(n-\left(-\frac{1}{9}\right)\right)$$

Forenkle alle uttrykkene i formelen fra p-\left(-q\right)til p+q.

$$81n^{2}+18n+1=81\left(n+\frac{1}{9}\right)\left(n+\frac{1}{9}\right)$$

Legg sammen \frac{1}{9} og n ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$81n^{2}+18n+1=81\times \frac{9n+1}{9}\left(n+\frac{1}{9}\right)$$

Legg sammen \frac{1}{9} og n ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$81n^{2}+18n+1=81\times \frac{9n+1}{9}\times \frac{9n+1}{9}$$

Multipliser \frac{9n+1}{9} med \frac{9n+1}{9} ved å multiplisere teller ganger teller og nevner ganger nevner. Forkort deretter brøken om mulig.

$$81n^{2}+18n+1=81\times \frac{\left(9n+1\right)\left(9n+1\right)}{9\times 9}$$

Multipliser 9 ganger 9.

$$81n^{2}+18n+1=81\times \frac{\left(9n+1\right)\left(9n+1\right)}{81}$$

Opphev den største felles faktoren 81 i 81 og 81.

$$81n^{2}+18n+1=\left(9n+1\right)\left(9n+1\right)$$

Evaluer

$$\left(9n+1\right)^{2}$$