Løs 8x^2-9x+1=0

$$8 x ^ { 2 } - 9 x + 1 = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{1}{8}=0,125$$

$$x=1$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 8x^{2}+ax+bx+1. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-9 ab=8\times 1=8$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 8.

$$-1,-8 -2,-4$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-8=-9 -2-4=-6$$

Løsningen er paret som gir Summer -9.

$$a=-8 b=-1$$

Skriv om 8x^{2}-9x+1 som \left(8x^{2}-8x\right)+\left(-x+1\right).

$$\left(8x^{2}-8x\right)+\left(-x+1\right)$$

Faktor ut 8x i den første og -1 i den andre gruppen.

$$8x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-1=0 og 8x-1=0.

$$x=1 x=\frac{1}{8}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$8x^{2}-9x+1=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 8 for a, -9 for b og 1 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 8}}{2\times 8}$$

Kvadrer -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 8}}{2\times 8}$$

Multipliser -4 ganger 8.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-32}}{2\times 8}$$

Legg sammen 81 og -32.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{49}}{2\times 8}$$

Ta kvadratroten av 49.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±7}{2\times 8}$$

Det motsatte av -9 er 9.

$$x=\frac{9±7}{2\times 8}$$

Multipliser 2 ganger 8.

$$x=\frac{9±7}{16}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{9±7}{16} når ± er pluss. Legg sammen 9 og 7.

$$x=\frac{16}{16}$$

Del 16 på 16.

$$x=1$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{9±7}{16} når ± er minus. Trekk fra 7 fra 9.

$$x=\frac{2}{16}$$

Forkort brøken \frac{2}{16} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=\frac{1}{8}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=1 x=\frac{1}{8}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}-9x+1=0$$

Trekk fra 1 fra begge sider av ligningen.

$$8x^{2}-9x+1-1=-1$$

Når du trekker fra 1 fra seg selv har du 0 igjen.

$$8x^{2}-9x=-1$$

Del begge sidene på 8.

$$\frac{8x^{2}-9x}{8}=-\frac{1}{8}$$

Hvis du deler på 8, gjør du om gangingen med 8.

$$x^{2}-\frac{9}{8}x=-\frac{1}{8}$$

Del -\frac{9}{8}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{9}{16}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{9}{16} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{9}{8}x+\left(-\frac{9}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{8}+\left(-\frac{9}{16}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{9}{16} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{9}{8}x+\frac{81}{256}=-\frac{1}{8}+\frac{81}{256}$$

Legg sammen -\frac{1}{8} og \frac{81}{256} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{9}{8}x+\frac{81}{256}=\frac{49}{256}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{9}{8}x+\frac{81}{256}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{16}\right)^{2}=\frac{49}{256}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{256}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{9}{16}=\frac{7}{16} x-\frac{9}{16}=-\frac{7}{16}$$

Legg til \frac{9}{16} på begge sider av ligningen.

$$x=1 x=\frac{1}{8}$$