Løs 8x^2-8x-1=0

$$8 x ^ { 2 } - 8 x - 1 = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}\approx 1,112372436$$

$$x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}\approx -0,112372436$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$8x^{2}-8x-1=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 8 for a, -8 for b og -1 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 8\left(-1\right)}}{2\times 8}$$

Kvadrer -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 8\left(-1\right)}}{2\times 8}$$

Multipliser -4 ganger 8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-32\left(-1\right)}}{2\times 8}$$

Multipliser -32 ganger -1.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+32}}{2\times 8}$$

Legg sammen 64 og 32.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{96}}{2\times 8}$$

Ta kvadratroten av 96.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±4\sqrt{6}}{2\times 8}$$

Det motsatte av -8 er 8.

$$x=\frac{8±4\sqrt{6}}{2\times 8}$$

Multipliser 2 ganger 8.

$$x=\frac{8±4\sqrt{6}}{16}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{8±4\sqrt{6}}{16} når ± er pluss. Legg sammen 8 og 4\sqrt{6}.

$$x=\frac{4\sqrt{6}+8}{16}$$

Del 8+4\sqrt{6} på 16.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{8±4\sqrt{6}}{16} når ± er minus. Trekk fra 4\sqrt{6} fra 8.

$$x=\frac{8-4\sqrt{6}}{16}$$

Del 8-4\sqrt{6} på 16.

$$x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}-8x-1=0$$

Legg til 1 på begge sider av ligningen.

$$8x^{2}-8x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Når du trekker fra -1 fra seg selv har du 0 igjen.

$$8x^{2}-8x=-\left(-1\right)$$

Trekk fra -1 fra 0.

$$8x^{2}-8x=1$$

Del begge sidene på 8.

$$\frac{8x^{2}-8x}{8}=\frac{1}{8}$$

Hvis du deler på 8, gjør du om gangingen med 8.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{8}\right)x=\frac{1}{8}$$

Del -8 på 8.

$$x^{2}-x=\frac{1}{8}$$

Divider -1, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få -\frac{1}{2}. Legg deretter til kvadratet av -\frac{1}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{8}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{1}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{8}+\frac{1}{4}$$

Legg sammen \frac{1}{8} og \frac{1}{4} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{8}$$

Faktoriser x^{2}-x+\frac{1}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{8}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{8}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{6}}{4}$$

Legg til \frac{1}{2} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$