Løs 8x^2+6x-27leq0

$$8 x ^ { 2 } + 6 x - 27 \leq 0$$

Løs for x

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{9}{4},\frac{3}{2}\end{bmatrix}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Faktoriser venstre side for å løse ulikheten. Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$8x^{2}+6x-27=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 8 med a, 6 med b, og -27 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 8\left(-27\right)}}{2\times 8}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{-6±30}{16}$$

Løs ligningen x=\frac{-6±30}{16} når ± er pluss og ± er minus.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{9}{4}$$

Skriv om ulikheten ved hjelp av de oppnådde løsningene.

$$8\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x+\frac{9}{4}\right)\leq 0$$

En av verdiene x-\frac{3}{2} og x+\frac{9}{4} må være ≥0 og den andre må være ≤0 for at produktet skal bli ≤0. Vurder saken når x-\frac{3}{2}\geq 0 og x+\frac{9}{4}\leq 0.

$$x-\frac{3}{2}\geq 0 x+\frac{9}{4}\leq 0$$

Dette er usant for alle x.

$$x\in \emptyset$$

Vurder saken når x-\frac{3}{2}\leq 0 og x+\frac{9}{4}\geq 0.

$$x+\frac{9}{4}\geq 0 x-\frac{3}{2}\leq 0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x\in \left[-\frac{9}{4},\frac{3}{2}\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{9}{4},\frac{3}{2}\end{bmatrix}$$

Den siste løsningen er unionen av de oppnådde løsningene.

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{9}{4},\frac{3}{2}\end{bmatrix}$$