Løs 8x^2+10x-7=0

$$8 x ^ { 2 } + 10 x - 7 = 0$$

Løs for x

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1,75$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen faktoriserer du venstre side ved å gruppere. Først må venstre side omskrives som 8x^{2}+ax+bx-7. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=10 ab=8\left(-7\right)=-56$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -56.

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

Løsningen er paret som gir Summer 10.

$$a=-4 b=14$$

Skriv om 8x^{2}+10x-7 som \left(8x^{2}-4x\right)+\left(14x-7\right).

$$\left(8x^{2}-4x\right)+\left(14x-7\right)$$

Faktor ut 4x i den første og 7 i den andre gruppen.

$$4x\left(2x-1\right)+7\left(2x-1\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 2x-1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(2x-1\right)\left(4x+7\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 2x-1=0 og 4x+7=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$8x^{2}+10x-7=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 8 for a, 10 for b og -7 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 8\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Kvadrer 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 8\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Multipliser -4 ganger 8.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-32\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Multipliser -32 ganger -7.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+224}}{2\times 8}$$

Legg sammen 100 og 224.

$$x=\frac{-10±\sqrt{324}}{2\times 8}$$

Ta kvadratroten av 324.

$$x=\frac{-10±18}{2\times 8}$$

Multipliser 2 ganger 8.

$$x=\frac{-10±18}{16}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-10±18}{16} når ± er pluss. Legg sammen -10 og 18.

$$x=\frac{8}{16}$$

Forkort brøken \frac{8}{16} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 8.

$$x=\frac{1}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-10±18}{16} når ± er minus. Trekk fra 18 fra -10.

$$x=-\frac{28}{16}$$

Forkort brøken \frac{-28}{16} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 4.

$$x=-\frac{7}{4}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}+10x-7=0$$

Legg til 7 på begge sider av ligningen.

$$8x^{2}+10x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Når du trekker fra -7 fra seg selv har du 0 igjen.

$$8x^{2}+10x=-\left(-7\right)$$

Trekk fra -7 fra 0.

$$8x^{2}+10x=7$$

Del begge sidene på 8.

$$\frac{8x^{2}+10x}{8}=\frac{7}{8}$$

Hvis du deler på 8, gjør du om gangingen med 8.

$$x^{2}+\frac{10}{8}x=\frac{7}{8}$$

Forkort brøken \frac{10}{8} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x=\frac{7}{8}$$

Divider \frac{5}{4}, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få \frac{5}{8}. Legg deretter til kvadratet av \frac{5}{8} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{7}{8}+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{5}{8} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{7}{8}+\frac{25}{64}$$

Legg sammen \frac{7}{8} og \frac{25}{64} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{81}{64}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{5}{8}=\frac{9}{8} x+\frac{5}{8}=-\frac{9}{8}$$

Trekk fra \frac{5}{8} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$