Løs 7x-5/2x^2-5/2x=1000

$$7x- \frac{ 5 }{ 2 } { x }^{ 2 } - \frac{ 5 }{ 2 } x=1000$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{9+\sqrt{39919}i}{10}\approx 0,9+19,979739738i$$

$$x=\frac{-\sqrt{39919}i+9}{10}\approx 0,9-19,979739738i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Kombiner 7x og -\frac{5}{2}x for å få \frac{9}{2}x.

$$\frac{9}{2}x-\frac{5}{2}x^{2}=1000$$

Trekk fra 1000 fra begge sider.

$$\frac{9}{2}x-\frac{5}{2}x^{2}-1000=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-\frac{5}{2}x^{2}+\frac{9}{2}x-1000=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -\frac{5}{2} for a, \frac{9}{2} for b og -1000 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{\left(\frac{9}{2}\right)^{2}-4\left(-\frac{5}{2}\right)\left(-1000\right)}}{2\left(-\frac{5}{2}\right)}$$

Kvadrer \frac{9}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{\frac{81}{4}-4\left(-\frac{5}{2}\right)\left(-1000\right)}}{2\left(-\frac{5}{2}\right)}$$

Multipliser -4 ganger -\frac{5}{2}.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{\frac{81}{4}+10\left(-1000\right)}}{2\left(-\frac{5}{2}\right)}$$

Multipliser 10 ganger -1000.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{\frac{81}{4}-10000}}{2\left(-\frac{5}{2}\right)}$$

Legg sammen \frac{81}{4} og -10000.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{-\frac{39919}{4}}}{2\left(-\frac{5}{2}\right)}$$

Ta kvadratroten av -\frac{39919}{4}.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\frac{\sqrt{39919}i}{2}}{2\left(-\frac{5}{2}\right)}$$

Multipliser 2 ganger -\frac{5}{2}.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\frac{\sqrt{39919}i}{2}}{-5}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-\frac{9}{2}±\frac{\sqrt{39919}i}{2}}{-5} når ± er pluss. Legg sammen -\frac{9}{2} og \frac{i\sqrt{39919}}{2}.

$$x=\frac{-9+\sqrt{39919}i}{-5\times 2}$$

Del \frac{-9+i\sqrt{39919}}{2} på -5.

$$x=\frac{-\sqrt{39919}i+9}{10}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-\frac{9}{2}±\frac{\sqrt{39919}i}{2}}{-5} når ± er minus. Trekk fra \frac{i\sqrt{39919}}{2} fra -\frac{9}{2}.

$$x=\frac{-\sqrt{39919}i-9}{-5\times 2}$$

Del \frac{-9-i\sqrt{39919}}{2} på -5.

$$x=\frac{9+\sqrt{39919}i}{10}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{-\sqrt{39919}i+9}{10} x=\frac{9+\sqrt{39919}i}{10}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Kombiner 7x og -\frac{5}{2}x for å få \frac{9}{2}x.

$$\frac{9}{2}x-\frac{5}{2}x^{2}=1000$$

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-\frac{5}{2}x^{2}+\frac{9}{2}x=1000$$

Del begge sidene av ligningen på -\frac{5}{2}, som er det samme som å multiplisere begge sidene med den resiproke verdien av brøken.

$$\frac{-\frac{5}{2}x^{2}+\frac{9}{2}x}{-\frac{5}{2}}=\frac{1000}{-\frac{5}{2}}$$

Hvis du deler på -\frac{5}{2}, gjør du om gangingen med -\frac{5}{2}.

$$x^{2}+\frac{\frac{9}{2}}{-\frac{5}{2}}x=\frac{1000}{-\frac{5}{2}}$$

Del \frac{9}{2} på -\frac{5}{2} ved å multiplisere \frac{9}{2} med den resiproke verdien av -\frac{5}{2}.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x=\frac{1000}{-\frac{5}{2}}$$

Del 1000 på -\frac{5}{2} ved å multiplisere 1000 med den resiproke verdien av -\frac{5}{2}.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x=-400$$

Divider -\frac{9}{5}, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få -\frac{9}{10}. Legg deretter til kvadratet av -\frac{9}{10} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}=-400+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{9}{10} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=-400+\frac{81}{100}$$

Legg sammen -400 og \frac{81}{100}.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=-\frac{39919}{100}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{10}\right)^{2}=-\frac{39919}{100}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{39919}{100}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{9}{10}=\frac{\sqrt{39919}i}{10} x-\frac{9}{10}=-\frac{\sqrt{39919}i}{10}$$

Legg til \frac{9}{10} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{9+\sqrt{39919}i}{10} x=\frac{-\sqrt{39919}i+9}{10}$$