Løs 772-2x^2+x-1leq0

$$772 - 2 x ^ { 2 } + x - 1 \leq 0$$

Løs for x

$$x\in (-\infty,\frac{1-\sqrt{6169}}{4}]\cup [\frac{\sqrt{6169}+1}{4},\infty)$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Trekk fra 1 fra 772 for å få 771.

$$771-2x^{2}+x\leq 0$$

Multipliserer ulikheten med –1 for å gjøre koeffisienten til den høyeste potensen i 771-2x^{2}+x positiv. Siden -1 er negativ, endres ulikhetsretningen.

$$-771+2x^{2}-x\geq 0$$

Faktoriser venstre side for å løse ulikheten. Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$-771+2x^{2}-x=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 2 med a, -1 med b, og -771 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 2\left(-771\right)}}{2\times 2}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{1±\sqrt{6169}}{4}$$

Løs ligningen x=\frac{1±\sqrt{6169}}{4} når ± er pluss og ± er minus.

$$x=\frac{\sqrt{6169}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{6169}}{4}$$

Skriv om ulikheten ved hjelp av de oppnådde løsningene.

$$2\left(x-\frac{\sqrt{6169}+1}{4}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{6169}}{4}\right)\geq 0$$

For at produktet skal være ≥0, x-\frac{\sqrt{6169}+1}{4} og x-\frac{1-\sqrt{6169}}{4} må være både ≤0 eller begge ≥0. Vurder saken når x-\frac{\sqrt{6169}+1}{4} og x-\frac{1-\sqrt{6169}}{4} er begge ≤0.

$$x-\frac{\sqrt{6169}+1}{4}\leq 0 x-\frac{1-\sqrt{6169}}{4}\leq 0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x\leq \frac{1-\sqrt{6169}}{4}.

$$x\leq \frac{1-\sqrt{6169}}{4}$$

Vurder saken når x-\frac{\sqrt{6169}+1}{4} og x-\frac{1-\sqrt{6169}}{4} er begge ≥0.

$$x-\frac{1-\sqrt{6169}}{4}\geq 0 x-\frac{\sqrt{6169}+1}{4}\geq 0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x\geq \frac{\sqrt{6169}+1}{4}.

$$x\geq \frac{\sqrt{6169}+1}{4}$$

Den siste løsningen er unionen av de oppnådde løsningene.

$$x\leq \frac{1-\sqrt{6169}}{4}\text{; }x\geq \frac{\sqrt{6169}+1}{4}$$