Løs 75x^2+35x-10=0

$$75 x ^ { 2 } + 35 x - 10 = 0$$

Løs for x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=\frac{1}{5}=0,2$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Del begge sidene på 5.

$$15x^{2}+7x-2=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 15x^{2}+ax+bx-2. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=7 ab=15\left(-2\right)=-30$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Løsningen er paret som gir Summer 7.

$$a=-3 b=10$$

Skriv om 15x^{2}+7x-2 som \left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right).

$$\left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right)$$

Faktor ut 3x i den første og 2 i den andre gruppen.

$$3x\left(5x-1\right)+2\left(5x-1\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 5x-1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(5x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 5x-1=0 og 3x+2=0.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 75 for a, 35 for b og -10 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-35±\sqrt{35^{2}-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Kvadrer 35.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Multipliser -4 ganger 75.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-300\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Multipliser -300 ganger -10.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225+3000}}{2\times 75}$$

Legg sammen 1225 og 3000.

$$x=\frac{-35±\sqrt{4225}}{2\times 75}$$

Ta kvadratroten av 4225.

$$x=\frac{-35±65}{2\times 75}$$

Multipliser 2 ganger 75.

$$x=\frac{-35±65}{150}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-35±65}{150} når ± er pluss. Legg sammen -35 og 65.

$$x=\frac{30}{150}$$

Forkort brøken \frac{30}{150} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 30.

$$x=\frac{1}{5}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-35±65}{150} når ± er minus. Trekk fra 65 fra -35.

$$x=-\frac{100}{150}$$

Forkort brøken \frac{-100}{150} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 50.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

Legg til 10 på begge sider av ligningen.

$$75x^{2}+35x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Når du trekker fra -10 fra seg selv har du 0 igjen.

$$75x^{2}+35x=-\left(-10\right)$$

Trekk fra -10 fra 0.

$$75x^{2}+35x=10$$

Del begge sidene på 75.

$$\frac{75x^{2}+35x}{75}=\frac{10}{75}$$

Hvis du deler på 75, gjør du om gangingen med 75.

$$x^{2}+\frac{35}{75}x=\frac{10}{75}$$

Forkort brøken \frac{35}{75} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 5.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{10}{75}$$

Forkort brøken \frac{10}{75} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 5.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{2}{15}$$

Del \frac{7}{15}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{7}{30}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{7}{30} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{2}{15}+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{7}{30} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{2}{15}+\frac{49}{900}$$

Legg sammen \frac{2}{15} og \frac{49}{900} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{169}{900}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{169}{900}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{900}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{7}{30}=\frac{13}{30} x+\frac{7}{30}=-\frac{13}{30}$$

Trekk fra \frac{7}{30} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$