Løs 75x^2+200x-400

$$75 x ^ { 2 } + 200 x - 400$$

Faktoriser

$$25\left(3x-4\right)\left(x+4\right)$$

Løsningstrinn

Faktoriser ut 25.

$$25\left(3x^{2}+8x-16\right)$$

Vurder 3x^{2}+8x-16. Faktor iser uttrykket ved å gruppere. Først må uttrykket omskrives som 3x^{2}+ax+bx-16. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=8 ab=3\left(-16\right)=-48$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -48.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

Løsningen er paret som gir Summer 8.

$$a=-4 b=12$$

Skriv om 3x^{2}+8x-16 som \left(3x^{2}-4x\right)+\left(12x-16\right).

$$\left(3x^{2}-4x\right)+\left(12x-16\right)$$

Faktor ut x i den første og 4 i den andre gruppen.

$$x\left(3x-4\right)+4\left(3x-4\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 3x-4 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(3x-4\right)\left(x+4\right)$$

Skriv om det fullførte faktoriserte uttrykket.

$$25\left(3x-4\right)\left(x+4\right)$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$75x^{2}+200x-400=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$x=\frac{-200±\sqrt{200^{2}-4\times 75\left(-400\right)}}{2\times 75}$$

Kvadrer 200.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-4\times 75\left(-400\right)}}{2\times 75}$$

Multipliser -4 ganger 75.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-300\left(-400\right)}}{2\times 75}$$

Multipliser -300 ganger -400.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000+120000}}{2\times 75}$$

Legg sammen 40000 og 120000.

$$x=\frac{-200±\sqrt{160000}}{2\times 75}$$

Ta kvadratroten av 160000.

$$x=\frac{-200±400}{2\times 75}$$

Multipliser 2 ganger 75.

$$x=\frac{-200±400}{150}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-200±400}{150} når ± er pluss. Legg sammen -200 og 400.

$$x=\frac{200}{150}$$

Forkort brøken \frac{200}{150} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 50.

$$x=\frac{4}{3}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-200±400}{150} når ± er minus. Trekk fra 400 fra -200.

$$x=-\frac{600}{150}$$

Del -600 på 150.

$$x=-4$$

Faktoriser det opprinnelige uttrykket ved hjelp av ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Erstatt \frac{4}{3} med x_{1} og -4 med x_{2}.

$$75x^{2}+200x-400=75\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x-\left(-4\right)\right)$$

Forenkle alle uttrykkene i formelen fra p-\left(-q\right)til p+q.

$$75x^{2}+200x-400=75\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x+4\right)$$

Trekk fra \frac{4}{3} fra x ved å finne en fellesnevner og trekke fra tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$75x^{2}+200x-400=75\times \frac{3x-4}{3}\left(x+4\right)$$

Opphev den største felles faktoren 3 i 75 og 3.

$$75x^{2}+200x-400=25\left(3x-4\right)\left(x+4\right)$$

Evaluer

$$25\left(3x-4\right)\left(x+4\right)$$