Løs 7+4x+5x^2=0

$$7+4x+5 { x }^{ 2 } = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-2+\sqrt{31}i}{5}\approx -0,4+1,113552873i$$

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-2}{5}\approx -0,4-1,113552873i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$5x^{2}+4x+7=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 5 for a, 4 for b og 7 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 5\times 7}}{2\times 5}$$

Kvadrer 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 5\times 7}}{2\times 5}$$

Multipliser -4 ganger 5.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-20\times 7}}{2\times 5}$$

Multipliser -20 ganger 7.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-140}}{2\times 5}$$

Legg sammen 16 og -140.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-124}}{2\times 5}$$

Ta kvadratroten av -124.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{31}i}{2\times 5}$$

Multipliser 2 ganger 5.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{31}i}{10}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-4±2\sqrt{31}i}{10} når ± er pluss. Legg sammen -4 og 2i\sqrt{31}.

$$x=\frac{-4+2\sqrt{31}i}{10}$$

Del -4+2i\sqrt{31} på 10.

$$x=\frac{-2+\sqrt{31}i}{5}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-4±2\sqrt{31}i}{10} når ± er minus. Trekk fra 2i\sqrt{31} fra -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{31}i-4}{10}$$

Del -4-2i\sqrt{31} på 10.

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-2}{5}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{-2+\sqrt{31}i}{5} x=\frac{-\sqrt{31}i-2}{5}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+4x+7=0$$

Trekk fra 7 fra begge sider av ligningen.

$$5x^{2}+4x+7-7=-7$$

Når du trekker fra 7 fra seg selv har du 0 igjen.

$$5x^{2}+4x=-7$$

Del begge sidene på 5.

$$\frac{5x^{2}+4x}{5}=-\frac{7}{5}$$

Hvis du deler på 5, gjør du om gangingen med 5.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x=-\frac{7}{5}$$

Del \frac{4}{5}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{2}{5}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{2}{5} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{7}{5}+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{2}{5} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{7}{5}+\frac{4}{25}$$

Legg sammen -\frac{7}{5} og \frac{4}{25} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{31}{25}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{31}{25}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{31}{25}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{31}i}{5} x+\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{31}i}{5}$$

Trekk fra \frac{2}{5} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{-2+\sqrt{31}i}{5} x=\frac{-\sqrt{31}i-2}{5}$$