Løs 7x-15y-2=0text{ztal}x+2y=3

$$7 x - 15 y - 2 = 0 \text { ztal } x + 2 y = 3$$

Løs for x, y

$$x = \frac{49}{29} = 1\frac{20}{29} \approx 1,689655172$$

$$y=\frac{19}{29}\approx 0,655172414$$

Fremgangsmåten ved bruk av innsetting

Hvis du vil løse et ligningspar ved hjelp av innsetting, løser du først en av ligningene for å få en variabel. Deretter setter du inn resultatet for denne variabelen i den andre ligningen.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Velg én av ligningene, og løs den for x ved å isolere x på venstre side av likhetstegnet.

$$7x-15y-2=0$$

Legg til 2 på begge sider av ligningen.

$$7x-15y=2$$

Legg til 15y på begge sider av ligningen.

$$7x=15y+2$$

Del begge sidene på 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(15y+2\right)$$

Multipliser \frac{1}{7} ganger 15y+2.

$$x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}$$

Sett inn \frac{15y+2}{7} for x i den andre formelen, x+2y=3.

$$\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}+2y=3$$

Legg sammen \frac{15y}{7} og 2y.

$$\frac{29}{7}y+\frac{2}{7}=3$$

Trekk fra \frac{2}{7} fra begge sider av ligningen.

$$\frac{29}{7}y=\frac{19}{7}$$

Del begge sidene av ligningen på \frac{29}{7}, som er det samme som å multiplisere begge sidene med den resiproke verdien av brøken.

$$y=\frac{19}{29}$$

Sett inn \frac{19}{29} for y i x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$x=\frac{15}{7}\times \frac{19}{29}+\frac{2}{7}$$

Multipliser \frac{15}{7} med \frac{19}{29} ved å multiplisere teller ganger teller og nevner ganger nevner. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x=\frac{285}{203}+\frac{2}{7}$$

Legg sammen \frac{2}{7} og \frac{285}{203} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x=\frac{49}{29}$$

Systemet er nå løst.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

Fremgangsmåten ved hjelp av matriser

Skriv ligningene i standardformat, og bruk matriser til å løse ligningssystemet.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Skriv ligningen i matriseform.

$$\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Venstremultipliser formelen med den inverse matrisen til \left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Produktet av en matrise og dens inverse matrise er identitetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplisere matriser på venstre side av likhetstegnet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

For 2\times 2-matrisen\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), er den inverse matrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matriseformelen kan skrives om som matrisemultiplikasjon.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-\left(-15\right)}&-\frac{-15}{7\times 2-\left(-15\right)}\\-\frac{1}{7\times 2-\left(-15\right)}&\frac{7}{7\times 2-\left(-15\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}&\frac{15}{29}\\-\frac{1}{29}&\frac{7}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Multipliser matrisene.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}\times 2+\frac{15}{29}\times 3\\-\frac{1}{29}\times 2+\frac{7}{29}\times 3\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{29}\\\frac{19}{29}\end{matrix}\right)$$

Trekk ut matriseelementene x og y.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

Fremgangsmåten ved hjelp av eliminasjon

Hvis du vil løse ved eliminasjon, må koeffisienten til en av variablene være den samme i begge formlene, slik at variabelen elimineres når én ligning trekkes fra den andre.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

For å gjøre 7x og x lik multipliserer du alle leddene på hver side av den første ligningen med 1 og alle leddene på hver side av den andre ligningen med 7.

$$7x-15y-2=0,7x+7\times 2y=7\times 3$$

Forenkle.

$$7x-15y-2=0,7x+14y=21$$

Trekk fra 7x+14y=21 fra 7x-15y-2=0 ved å trekke fra tilsvarende ledd på hver side av likhetstegnet.

$$7x-7x-15y-14y-2=-21$$

Legg sammen 7x og -7x. Vilkårene 7x og -7x eliminerer hverandre, slik at vi får en formel med bare én variabel som kan løses.

$$-15y-14y-2=-21$$

Legg sammen -15y og -14y.

$$-29y-2=-21$$

Legg til 2 på begge sider av ligningen.

$$-29y=-19$$

Del begge sidene på -29.

$$y=\frac{19}{29}$$

Sett inn \frac{19}{29} for y i x+2y=3. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$x+2\times \frac{19}{29}=3$$

Multipliser 2 ganger \frac{19}{29}.

$$x+\frac{38}{29}=3$$

Trekk fra \frac{38}{29} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{49}{29}$$

Systemet er nå løst.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$