Løs 7x^2-4x-11=0

$$7 x ^ { 2 } - 4 x - 11 = 0$$

Løs for x

$$x=-1$$

$$x = \frac{11}{7} = 1\frac{4}{7} \approx 1,571428571$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 7x^{2}+ax+bx-11. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-4 ab=7\left(-11\right)=-77$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -77.

$$1,-77 7,-11$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-77=-76 7-11=-4$$

Løsningen er paret som gir Summer -4.

$$a=-11 b=7$$

Skriv om 7x^{2}-4x-11 som \left(7x^{2}-11x\right)+\left(7x-11\right).

$$\left(7x^{2}-11x\right)+\left(7x-11\right)$$

Faktorer ut x i 7x^{2}-11x.

$$x\left(7x-11\right)+7x-11$$

Faktorer ut det felles leddet 7x-11 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(7x-11\right)\left(x+1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 7x-11=0 og x+1=0.

$$x=\frac{11}{7} x=-1$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$7x^{2}-4x-11=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 7 for a, -4 for b og -11 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 7\left(-11\right)}}{2\times 7}$$

Kvadrer -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 7\left(-11\right)}}{2\times 7}$$

Multipliser -4 ganger 7.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-28\left(-11\right)}}{2\times 7}$$

Multipliser -28 ganger -11.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+308}}{2\times 7}$$

Legg sammen 16 og 308.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{324}}{2\times 7}$$

Ta kvadratroten av 324.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±18}{2\times 7}$$

Det motsatte av -4 er 4.

$$x=\frac{4±18}{2\times 7}$$

Multipliser 2 ganger 7.

$$x=\frac{4±18}{14}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{4±18}{14} når ± er pluss. Legg sammen 4 og 18.

$$x=\frac{22}{14}$$

Forkort brøken \frac{22}{14} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=\frac{11}{7}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{4±18}{14} når ± er minus. Trekk fra 18 fra 4.

$$x=-\frac{14}{14}$$

Del -14 på 14.

$$x=-1$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{11}{7} x=-1$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-4x-11=0$$

Legg til 11 på begge sider av ligningen.

$$7x^{2}-4x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

Når du trekker fra -11 fra seg selv har du 0 igjen.

$$7x^{2}-4x=-\left(-11\right)$$

Trekk fra -11 fra 0.

$$7x^{2}-4x=11$$

Del begge sidene på 7.

$$\frac{7x^{2}-4x}{7}=\frac{11}{7}$$

Hvis du deler på 7, gjør du om gangingen med 7.

$$x^{2}-\frac{4}{7}x=\frac{11}{7}$$

Del -\frac{4}{7}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{2}{7}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{2}{7} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{4}{7}x+\left(-\frac{2}{7}\right)^{2}=\frac{11}{7}+\left(-\frac{2}{7}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{2}{7} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=\frac{11}{7}+\frac{4}{49}$$

Legg sammen \frac{11}{7} og \frac{4}{49} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=\frac{81}{49}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{7}\right)^{2}=\frac{81}{49}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{49}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{2}{7}=\frac{9}{7} x-\frac{2}{7}=-\frac{9}{7}$$

Legg til \frac{2}{7} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{11}{7} x=-1$$