Løs 7x^2-31x-20=0

$$7 x ^ { 2 } - 31 x - 20 = 0$$

Løs for x

$$x=-\frac{4}{7}\approx -0,571428571$$

$$x=5$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 7x^{2}+ax+bx-20. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-31 ab=7\left(-20\right)=-140$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -140.

$$1,-140 2,-70 4,-35 5,-28 7,-20 10,-14$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-140=-139 2-70=-68 4-35=-31 5-28=-23 7-20=-13 10-14=-4$$

Løsningen er paret som gir Summer -31.

$$a=-35 b=4$$

Skriv om 7x^{2}-31x-20 som \left(7x^{2}-35x\right)+\left(4x-20\right).

$$\left(7x^{2}-35x\right)+\left(4x-20\right)$$

Faktor ut 7x i den første og 4 i den andre gruppen.

$$7x\left(x-5\right)+4\left(x-5\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-5 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-5\right)\left(7x+4\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-5=0 og 7x+4=0.

$$x=5 x=-\frac{4}{7}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$7x^{2}-31x-20=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 7 for a, -31 for b og -20 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 7\left(-20\right)}}{2\times 7}$$

Kvadrer -31.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 7\left(-20\right)}}{2\times 7}$$

Multipliser -4 ganger 7.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-28\left(-20\right)}}{2\times 7}$$

Multipliser -28 ganger -20.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+560}}{2\times 7}$$

Legg sammen 961 og 560.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1521}}{2\times 7}$$

Ta kvadratroten av 1521.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±39}{2\times 7}$$

Det motsatte av -31 er 31.

$$x=\frac{31±39}{2\times 7}$$

Multipliser 2 ganger 7.

$$x=\frac{31±39}{14}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{31±39}{14} når ± er pluss. Legg sammen 31 og 39.

$$x=\frac{70}{14}$$

Del 70 på 14.

$$x=5$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{31±39}{14} når ± er minus. Trekk fra 39 fra 31.

$$x=-\frac{8}{14}$$

Forkort brøken \frac{-8}{14} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=-\frac{4}{7}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=5 x=-\frac{4}{7}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-31x-20=0$$

Legg til 20 på begge sider av ligningen.

$$7x^{2}-31x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

Når du trekker fra -20 fra seg selv har du 0 igjen.

$$7x^{2}-31x=-\left(-20\right)$$

Trekk fra -20 fra 0.

$$7x^{2}-31x=20$$

Del begge sidene på 7.

$$\frac{7x^{2}-31x}{7}=\frac{20}{7}$$

Hvis du deler på 7, gjør du om gangingen med 7.

$$x^{2}-\frac{31}{7}x=\frac{20}{7}$$

Del -\frac{31}{7}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{31}{14}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{31}{14} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{31}{7}x+\left(-\frac{31}{14}\right)^{2}=\frac{20}{7}+\left(-\frac{31}{14}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{31}{14} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{31}{7}x+\frac{961}{196}=\frac{20}{7}+\frac{961}{196}$$

Legg sammen \frac{20}{7} og \frac{961}{196} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{31}{7}x+\frac{961}{196}=\frac{1521}{196}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{31}{7}x+\frac{961}{196}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{31}{14}\right)^{2}=\frac{1521}{196}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1521}{196}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{31}{14}=\frac{39}{14} x-\frac{31}{14}=-\frac{39}{14}$$

Legg til \frac{31}{14} på begge sider av ligningen.

$$x=5 x=-\frac{4}{7}$$