Løs 7x^2-18x-9=0

$$7 x ^ { 2 } - 18 x - 9 = 0$$

Løs for x

$$x=-\frac{3}{7}\approx -0,428571429$$

$$x=3$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 7x^{2}+ax+bx-9. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-18 ab=7\left(-9\right)=-63$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -63.

$$1,-63 3,-21 7,-9$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-63=-62 3-21=-18 7-9=-2$$

Løsningen er paret som gir Summer -18.

$$a=-21 b=3$$

Skriv om 7x^{2}-18x-9 som \left(7x^{2}-21x\right)+\left(3x-9\right).

$$\left(7x^{2}-21x\right)+\left(3x-9\right)$$

Faktor ut 7x i den første og 3 i den andre gruppen.

$$7x\left(x-3\right)+3\left(x-3\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-3 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-3\right)\left(7x+3\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-3=0 og 7x+3=0.

$$x=3 x=-\frac{3}{7}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$7x^{2}-18x-9=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 7 for a, -18 for b og -9 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 7\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Kvadrer -18.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 7\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Multipliser -4 ganger 7.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-28\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Multipliser -28 ganger -9.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324+252}}{2\times 7}$$

Legg sammen 324 og 252.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{576}}{2\times 7}$$

Ta kvadratroten av 576.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±24}{2\times 7}$$

Det motsatte av -18 er 18.

$$x=\frac{18±24}{2\times 7}$$

Multipliser 2 ganger 7.

$$x=\frac{18±24}{14}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{18±24}{14} når ± er pluss. Legg sammen 18 og 24.

$$x=\frac{42}{14}$$

Del 42 på 14.

$$x=3$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{18±24}{14} når ± er minus. Trekk fra 24 fra 18.

$$x=-\frac{6}{14}$$

Forkort brøken \frac{-6}{14} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=-\frac{3}{7}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=3 x=-\frac{3}{7}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-18x-9=0$$

Legg til 9 på begge sider av ligningen.

$$7x^{2}-18x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Når du trekker fra -9 fra seg selv har du 0 igjen.

$$7x^{2}-18x=-\left(-9\right)$$

Trekk fra -9 fra 0.

$$7x^{2}-18x=9$$

Del begge sidene på 7.

$$\frac{7x^{2}-18x}{7}=\frac{9}{7}$$

Hvis du deler på 7, gjør du om gangingen med 7.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x=\frac{9}{7}$$

Del -\frac{18}{7}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{9}{7}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{9}{7} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x+\left(-\frac{9}{7}\right)^{2}=\frac{9}{7}+\left(-\frac{9}{7}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{9}{7} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x+\frac{81}{49}=\frac{9}{7}+\frac{81}{49}$$

Legg sammen \frac{9}{7} og \frac{81}{49} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x+\frac{81}{49}=\frac{144}{49}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{18}{7}x+\frac{81}{49}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{7}\right)^{2}=\frac{144}{49}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{144}{49}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{9}{7}=\frac{12}{7} x-\frac{9}{7}=-\frac{12}{7}$$

Legg til \frac{9}{7} på begge sider av ligningen.

$$x=3 x=-\frac{3}{7}$$