Løs 7x^2-12x+8=0

$$7 x ^ { 2 } - 12 x + 8 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{6+2\sqrt{5}i}{7}\approx 0,857142857+0,638876565i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+6}{7}\approx 0,857142857-0,638876565i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$7x^{2}-12x+8=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 7 for a, -12 for b og 8 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 7\times 8}}{2\times 7}$$

Kvadrer -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 7\times 8}}{2\times 7}$$

Multipliser -4 ganger 7.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-28\times 8}}{2\times 7}$$

Multipliser -28 ganger 8.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-224}}{2\times 7}$$

Legg sammen 144 og -224.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{-80}}{2\times 7}$$

Ta kvadratroten av -80.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4\sqrt{5}i}{2\times 7}$$

Det motsatte av -12 er 12.

$$x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{2\times 7}$$

Multipliser 2 ganger 7.

$$x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{14}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{14} når ± er pluss. Legg sammen 12 og 4i\sqrt{5}.

$$x=\frac{12+4\sqrt{5}i}{14}$$

Del 12+4i\sqrt{5} på 14.

$$x=\frac{6+2\sqrt{5}i}{7}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{14} når ± er minus. Trekk fra 4i\sqrt{5} fra 12.

$$x=\frac{-4\sqrt{5}i+12}{14}$$

Del 12-4i\sqrt{5} på 14.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+6}{7}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{6+2\sqrt{5}i}{7} x=\frac{-2\sqrt{5}i+6}{7}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-12x+8=0$$

Trekk fra 8 fra begge sider av ligningen.

$$7x^{2}-12x+8-8=-8$$

Når du trekker fra 8 fra seg selv har du 0 igjen.

$$7x^{2}-12x=-8$$

Del begge sidene på 7.

$$\frac{7x^{2}-12x}{7}=-\frac{8}{7}$$

Hvis du deler på 7, gjør du om gangingen med 7.

$$x^{2}-\frac{12}{7}x=-\frac{8}{7}$$

Del -\frac{12}{7}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{6}{7}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{6}{7} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{12}{7}x+\left(-\frac{6}{7}\right)^{2}=-\frac{8}{7}+\left(-\frac{6}{7}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{6}{7} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{12}{7}x+\frac{36}{49}=-\frac{8}{7}+\frac{36}{49}$$

Legg sammen -\frac{8}{7} og \frac{36}{49} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{12}{7}x+\frac{36}{49}=-\frac{20}{49}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{12}{7}x+\frac{36}{49}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{6}{7}\right)^{2}=-\frac{20}{49}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{6}{7}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{20}{49}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{6}{7}=\frac{2\sqrt{5}i}{7} x-\frac{6}{7}=-\frac{2\sqrt{5}i}{7}$$

Legg til \frac{6}{7} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{6+2\sqrt{5}i}{7} x=\frac{-2\sqrt{5}i+6}{7}$$