Løs 7x^2+4x+1=0

$$7 x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7}\approx -0,285714286+0,24743583i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}\approx -0,285714286-0,24743583i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$7x^{2}+4x+1=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 7 for a, 4 for b og 1 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 7}}{2\times 7}$$

Kvadrer 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 7}}{2\times 7}$$

Multipliser -4 ganger 7.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-28}}{2\times 7}$$

Legg sammen 16 og -28.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-12}}{2\times 7}$$

Ta kvadratroten av -12.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{2\times 7}$$

Multipliser 2 ganger 7.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14} når ± er pluss. Legg sammen -4 og 2i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-4+2\sqrt{3}i}{14}$$

Del -4+2i\sqrt{3} på 14.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14} når ± er minus. Trekk fra 2i\sqrt{3} fra -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}i-4}{14}$$

Del -4-2i\sqrt{3} på 14.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7} x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}+4x+1=0$$

Trekk fra 1 fra begge sider av ligningen.

$$7x^{2}+4x+1-1=-1$$

Når du trekker fra 1 fra seg selv har du 0 igjen.

$$7x^{2}+4x=-1$$

Del begge sidene på 7.

$$\frac{7x^{2}+4x}{7}=-\frac{1}{7}$$

Hvis du deler på 7, gjør du om gangingen med 7.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x=-\frac{1}{7}$$

Divider \frac{4}{7}, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få \frac{2}{7}. Legg deretter til kvadratet av \frac{2}{7} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{1}{7}+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{2}{7} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{1}{7}+\frac{4}{49}$$

Legg sammen -\frac{1}{7} og \frac{4}{49} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{3}{49}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{3}{49}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{49}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{2}{7}=\frac{\sqrt{3}i}{7} x+\frac{2}{7}=-\frac{\sqrt{3}i}{7}$$

Trekk fra \frac{2}{7} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7} x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$