Løs 7x^2+2x=9

$$7 x ^ { 2 } + 2 x = 9$$

Løs for x

$$x = -\frac{9}{7} = -1\frac{2}{7} \approx -1,285714286$$

$$x=1$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Trekk fra 9 fra begge sider.

$$7x^{2}+2x-9=0$$

For å løse ligningen faktoriserer du venstre side ved å gruppere. Først må venstre side omskrives som 7x^{2}+ax+bx-9. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=2 ab=7\left(-9\right)=-63$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -63.

$$-1,63 -3,21 -7,9$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+63=62 -3+21=18 -7+9=2$$

Løsningen er paret som gir Summer 2.

$$a=-7 b=9$$

Skriv om 7x^{2}+2x-9 som \left(7x^{2}-7x\right)+\left(9x-9\right).

$$\left(7x^{2}-7x\right)+\left(9x-9\right)$$

Faktor ut 7x i den første og 9 i den andre gruppen.

$$7x\left(x-1\right)+9\left(x-1\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-1\right)\left(7x+9\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-1=0 og 7x+9=0.

$$x=1 x=-\frac{9}{7}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$7x^{2}+2x=9$$

Trekk fra 9 fra begge sider av ligningen.

$$7x^{2}+2x-9=9-9$$

Når du trekker fra 9 fra seg selv har du 0 igjen.

$$7x^{2}+2x-9=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 7 for a, 2 for b og -9 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 7\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Kvadrer 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 7\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Multipliser -4 ganger 7.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-28\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Multipliser -28 ganger -9.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+252}}{2\times 7}$$

Legg sammen 4 og 252.

$$x=\frac{-2±\sqrt{256}}{2\times 7}$$

Ta kvadratroten av 256.

$$x=\frac{-2±16}{2\times 7}$$

Multipliser 2 ganger 7.

$$x=\frac{-2±16}{14}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-2±16}{14} når ± er pluss. Legg sammen -2 og 16.

$$x=\frac{14}{14}$$

Del 14 på 14.

$$x=1$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-2±16}{14} når ± er minus. Trekk fra 16 fra -2.

$$x=-\frac{18}{14}$$

Forkort brøken \frac{-18}{14} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=-\frac{9}{7}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=1 x=-\frac{9}{7}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}+2x=9$$

Del begge sidene på 7.

$$\frac{7x^{2}+2x}{7}=\frac{9}{7}$$

Hvis du deler på 7, gjør du om gangingen med 7.

$$x^{2}+\frac{2}{7}x=\frac{9}{7}$$

Divider \frac{2}{7}, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få \frac{1}{7}. Legg deretter til kvadratet av \frac{1}{7} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{2}{7}x+\left(\frac{1}{7}\right)^{2}=\frac{9}{7}+\left(\frac{1}{7}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{1}{7} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}=\frac{9}{7}+\frac{1}{49}$$

Legg sammen \frac{9}{7} og \frac{1}{49} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}=\frac{64}{49}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{7}\right)^{2}=\frac{64}{49}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{49}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{1}{7}=\frac{8}{7} x+\frac{1}{7}=-\frac{8}{7}$$

Trekk fra \frac{1}{7} fra begge sider av ligningen.

$$x=1 x=-\frac{9}{7}$$