Løs 7x^2+11x-6=0

$$7 x ^ { 2 } + 11 x - 6 = 0$$

Løs for x

$$x=-2$$

$$x=\frac{3}{7}\approx 0,428571429$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 7x^{2}+ax+bx-6. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=11 ab=7\left(-6\right)=-42$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

Løsningen er paret som gir Summer 11.

$$a=-3 b=14$$

Skriv om 7x^{2}+11x-6 som \left(7x^{2}-3x\right)+\left(14x-6\right).

$$\left(7x^{2}-3x\right)+\left(14x-6\right)$$

Faktor ut x i den første og 2 i den andre gruppen.

$$x\left(7x-3\right)+2\left(7x-3\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 7x-3 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(7x-3\right)\left(x+2\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 7x-3=0 og x+2=0.

$$x=\frac{3}{7} x=-2$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$7x^{2}+11x-6=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 7 for a, 11 for b og -6 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 7\left(-6\right)}}{2\times 7}$$

Kvadrer 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 7\left(-6\right)}}{2\times 7}$$

Multipliser -4 ganger 7.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-28\left(-6\right)}}{2\times 7}$$

Multipliser -28 ganger -6.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+168}}{2\times 7}$$

Legg sammen 121 og 168.

$$x=\frac{-11±\sqrt{289}}{2\times 7}$$

Ta kvadratroten av 289.

$$x=\frac{-11±17}{2\times 7}$$

Multipliser 2 ganger 7.

$$x=\frac{-11±17}{14}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-11±17}{14} når ± er pluss. Legg sammen -11 og 17.

$$x=\frac{6}{14}$$

Forkort brøken \frac{6}{14} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=\frac{3}{7}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-11±17}{14} når ± er minus. Trekk fra 17 fra -11.

$$x=-\frac{28}{14}$$

Del -28 på 14.

$$x=-2$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{3}{7} x=-2$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}+11x-6=0$$

Legg til 6 på begge sider av ligningen.

$$7x^{2}+11x-6-\left(-6\right)=-\left(-6\right)$$

Når du trekker fra -6 fra seg selv har du 0 igjen.

$$7x^{2}+11x=-\left(-6\right)$$

Trekk fra -6 fra 0.

$$7x^{2}+11x=6$$

Del begge sidene på 7.

$$\frac{7x^{2}+11x}{7}=\frac{6}{7}$$

Hvis du deler på 7, gjør du om gangingen med 7.

$$x^{2}+\frac{11}{7}x=\frac{6}{7}$$

Del \frac{11}{7}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{11}{14}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{11}{14} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{11}{7}x+\left(\frac{11}{14}\right)^{2}=\frac{6}{7}+\left(\frac{11}{14}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{11}{14} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{11}{7}x+\frac{121}{196}=\frac{6}{7}+\frac{121}{196}$$

Legg sammen \frac{6}{7} og \frac{121}{196} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{11}{7}x+\frac{121}{196}=\frac{289}{196}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{11}{7}x+\frac{121}{196}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{14}\right)^{2}=\frac{289}{196}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{196}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{11}{14}=\frac{17}{14} x+\frac{11}{14}=-\frac{17}{14}$$

Trekk fra \frac{11}{14} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{3}{7} x=-2$$