Løs 7t^2-32t+12=0

$$7 t ^ { 2 } - 32 t + 12 = 0$$

Løs for t

$$t = \frac{2 \sqrt{43} + 16}{7} \approx 4,15926815$$

$$t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}\approx 0,412160422$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$7t^{2}-32t+12=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 7 for a, -32 for b og 12 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 7\times 12}}{2\times 7}$$

Kvadrer -32.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 7\times 12}}{2\times 7}$$

Multipliser -4 ganger 7.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-28\times 12}}{2\times 7}$$

Multipliser -28 ganger 12.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-336}}{2\times 7}$$

Legg sammen 1024 og -336.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{688}}{2\times 7}$$

Ta kvadratroten av 688.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±4\sqrt{43}}{2\times 7}$$

Det motsatte av -32 er 32.

$$t=\frac{32±4\sqrt{43}}{2\times 7}$$

Multipliser 2 ganger 7.

$$t=\frac{32±4\sqrt{43}}{14}$$

Nå kan du løse formelen t=\frac{32±4\sqrt{43}}{14} når ± er pluss. Legg sammen 32 og 4\sqrt{43}.

$$t=\frac{4\sqrt{43}+32}{14}$$

Del 32+4\sqrt{43} på 14.

$$t=\frac{2\sqrt{43}+16}{7}$$

Nå kan du løse formelen t=\frac{32±4\sqrt{43}}{14} når ± er minus. Trekk fra 4\sqrt{43} fra 32.

$$t=\frac{32-4\sqrt{43}}{14}$$

Del 32-4\sqrt{43} på 14.

$$t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}$$

Ligningen er nå løst.

$$t=\frac{2\sqrt{43}+16}{7} t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$7t^{2}-32t+12=0$$

Trekk fra 12 fra begge sider av ligningen.

$$7t^{2}-32t+12-12=-12$$

Når du trekker fra 12 fra seg selv har du 0 igjen.

$$7t^{2}-32t=-12$$

Del begge sidene på 7.

$$\frac{7t^{2}-32t}{7}=-\frac{12}{7}$$

Hvis du deler på 7, gjør du om gangingen med 7.

$$t^{2}-\frac{32}{7}t=-\frac{12}{7}$$

Del -\frac{32}{7}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{16}{7}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{16}{7} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$t^{2}-\frac{32}{7}t+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}=-\frac{12}{7}+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{16}{7} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$t^{2}-\frac{32}{7}t+\frac{256}{49}=-\frac{12}{7}+\frac{256}{49}$$

Legg sammen -\frac{12}{7} og \frac{256}{49} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$t^{2}-\frac{32}{7}t+\frac{256}{49}=\frac{172}{49}$$

Faktoriser t^{2}-\frac{32}{7}t+\frac{256}{49}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{16}{7}\right)^{2}=\frac{172}{49}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(t-\frac{16}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{172}{49}}$$

Forenkle.

$$t-\frac{16}{7}=\frac{2\sqrt{43}}{7} t-\frac{16}{7}=-\frac{2\sqrt{43}}{7}$$

Legg til \frac{16}{7} på begge sider av ligningen.

$$t=\frac{2\sqrt{43}+16}{7} t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}$$