Løs 7(x-3)-5(x^2-1)=x^2-5(x+2)

$$7 ( x - 3 ) - 5 ( x ^ { 2 } - 1 ) = x ^ { 2 } - 5 ( x + 2 )$$

Løs for x

$$x=1$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Bruk den distributive lov til å multiplisere 7 med x-3.

$$7x-21-5\left(x^{2}-1\right)=x^{2}-5\left(x+2\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere -5 med x^{2}-1.

$$7x-21-5x^{2}+5=x^{2}-5\left(x+2\right)$$

Legg sammen -21 og 5 for å få -16.

$$7x-16-5x^{2}=x^{2}-5\left(x+2\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere -5 med x+2.

$$7x-16-5x^{2}=x^{2}-5x-10$$

Trekk fra x^{2} fra begge sider.

$$7x-16-5x^{2}-x^{2}=-5x-10$$

Kombiner -5x^{2} og -x^{2} for å få -6x^{2}.

$$7x-16-6x^{2}=-5x-10$$

Legg til 5x på begge sider.

$$7x-16-6x^{2}+5x=-10$$

Kombiner 7x og 5x for å få 12x.

$$12x-16-6x^{2}=-10$$

Legg til 10 på begge sider.

$$12x-16-6x^{2}+10=0$$

Legg sammen -16 og 10 for å få -6.

$$12x-6-6x^{2}=0$$

Del begge sidene på 6.

$$2x-1-x^{2}=0$$

Skriv polynomet på standardform ved å plassere leddene i rekkefølge fra høyeste til laveste potens.

$$-x^{2}+2x-1=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som -x^{2}+ax+bx-1. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=2 ab=-\left(-1\right)=1$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er positiv, er a og b positive. Det eneste paret er system løsningen.

$$a=1 b=1$$

Skriv om -x^{2}+2x-1 som \left(-x^{2}+x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(-x^{2}+x\right)+\left(x-1\right)$$

Faktorer ut -x i -x^{2}+x.

$$-x\left(x-1\right)+x-1$$

Faktorer ut det felles leddet x-1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-1\right)\left(-x+1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-1=0 og -x+1=0.

$$x=1 x=1$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Bruk den distributive lov til å multiplisere 7 med x-3.

$$7x-21-5\left(x^{2}-1\right)=x^{2}-5\left(x+2\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere -5 med x^{2}-1.

$$7x-21-5x^{2}+5=x^{2}-5\left(x+2\right)$$

Legg sammen -21 og 5 for å få -16.

$$7x-16-5x^{2}=x^{2}-5\left(x+2\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere -5 med x+2.

$$7x-16-5x^{2}=x^{2}-5x-10$$

Trekk fra x^{2} fra begge sider.

$$7x-16-5x^{2}-x^{2}=-5x-10$$

Kombiner -5x^{2} og -x^{2} for å få -6x^{2}.

$$7x-16-6x^{2}=-5x-10$$

Legg til 5x på begge sider.

$$7x-16-6x^{2}+5x=-10$$

Kombiner 7x og 5x for å få 12x.

$$12x-16-6x^{2}=-10$$

Legg til 10 på begge sider.

$$12x-16-6x^{2}+10=0$$

Legg sammen -16 og 10 for å få -6.

$$12x-6-6x^{2}=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-6x^{2}+12x-6=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -6 for a, 12 for b og -6 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\left(-6\right)\left(-6\right)}}{2\left(-6\right)}$$

Kvadrer 12.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\left(-6\right)\left(-6\right)}}{2\left(-6\right)}$$

Multipliser -4 ganger -6.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+24\left(-6\right)}}{2\left(-6\right)}$$

Multipliser 24 ganger -6.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-144}}{2\left(-6\right)}$$

Legg sammen 144 og -144.

$$x=\frac{-12±\sqrt{0}}{2\left(-6\right)}$$

Ta kvadratroten av 0.

$$x=-\frac{12}{2\left(-6\right)}$$

Multipliser 2 ganger -6.

$$x=-\frac{12}{-12}$$

Del -12 på -12.

$$x=1$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Bruk den distributive lov til å multiplisere 7 med x-3.

$$7x-21-5\left(x^{2}-1\right)=x^{2}-5\left(x+2\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere -5 med x^{2}-1.

$$7x-21-5x^{2}+5=x^{2}-5\left(x+2\right)$$

Legg sammen -21 og 5 for å få -16.

$$7x-16-5x^{2}=x^{2}-5\left(x+2\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere -5 med x+2.

$$7x-16-5x^{2}=x^{2}-5x-10$$

Trekk fra x^{2} fra begge sider.

$$7x-16-5x^{2}-x^{2}=-5x-10$$

Kombiner -5x^{2} og -x^{2} for å få -6x^{2}.

$$7x-16-6x^{2}=-5x-10$$

Legg til 5x på begge sider.

$$7x-16-6x^{2}+5x=-10$$

Kombiner 7x og 5x for å få 12x.

$$12x-16-6x^{2}=-10$$

Legg til 16 på begge sider.

$$12x-6x^{2}=-10+16$$

Legg sammen -10 og 16 for å få 6.

$$12x-6x^{2}=6$$

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-6x^{2}+12x=6$$

Del begge sidene på -6.

$$\frac{-6x^{2}+12x}{-6}=\frac{6}{-6}$$

Hvis du deler på -6, gjør du om gangingen med -6.

$$x^{2}+\frac{12}{-6}x=\frac{6}{-6}$$

Del 12 på -6.

$$x^{2}-2x=\frac{6}{-6}$$

Del 6 på -6.

$$x^{2}-2x=-1$$

Del -2, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -1. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -1 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-2x+1=-1+1$$

Legg sammen -1 og 1.

$$x^{2}-2x+1=0$$

Faktoriser x^{2}-2x+1. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=0$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Forenkle.

$$x-1=0 x-1=0$$

Legg til 1 på begge sider av ligningen.

$$x=1 x=1$$

Ligningen er nå løst. Løsninger er de samme.

$$x=1$$