Løs 7x^2-3x-5=0

$$7 { x }^{ 2 } -3x-5=0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{149} + 3}{14} \approx 1,086182544$$

$$x=\frac{3-\sqrt{149}}{14}\approx -0,657611115$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$7x^{2}-3x-5=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 7 for a, -3 for b og -5 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 7\left(-5\right)}}{2\times 7}$$

Kvadrer -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 7\left(-5\right)}}{2\times 7}$$

Multipliser -4 ganger 7.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-28\left(-5\right)}}{2\times 7}$$

Multipliser -28 ganger -5.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+140}}{2\times 7}$$

Legg sammen 9 og 140.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{149}}{2\times 7}$$

Det motsatte av -3 er 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{149}}{2\times 7}$$

Multipliser 2 ganger 7.

$$x=\frac{3±\sqrt{149}}{14}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{3±\sqrt{149}}{14} når ± er pluss. Legg sammen 3 og \sqrt{149}.

$$x=\frac{\sqrt{149}+3}{14}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{3±\sqrt{149}}{14} når ± er minus. Trekk fra \sqrt{149} fra 3.

$$x=\frac{3-\sqrt{149}}{14}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{\sqrt{149}+3}{14} x=\frac{3-\sqrt{149}}{14}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-3x-5=0$$

Legg til 5 på begge sider av ligningen.

$$7x^{2}-3x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Når du trekker fra -5 fra seg selv har du 0 igjen.

$$7x^{2}-3x=-\left(-5\right)$$

Trekk fra -5 fra 0.

$$7x^{2}-3x=5$$

Del begge sidene på 7.

$$\frac{7x^{2}-3x}{7}=\frac{5}{7}$$

Hvis du deler på 7, gjør du om gangingen med 7.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x=\frac{5}{7}$$

Divider -\frac{3}{7}, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få -\frac{3}{14}. Legg deretter til kvadratet av -\frac{3}{14} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{5}{7}+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{3}{14} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{5}{7}+\frac{9}{196}$$

Legg sammen \frac{5}{7} og \frac{9}{196} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{149}{196}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{149}{196}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{149}{196}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{3}{14}=\frac{\sqrt{149}}{14} x-\frac{3}{14}=-\frac{\sqrt{149}}{14}$$

Legg til \frac{3}{14} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{149}+3}{14} x=\frac{3-\sqrt{149}}{14}$$