Løs 7x^2+27x-40=0

$$7 { x }^{ 2 } +27x-40=0$$

Løs for x

$$x=-5$$

$$x = \frac{8}{7} = 1\frac{1}{7} \approx 1,142857143$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 7x^{2}+ax+bx-40. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=27 ab=7\left(-40\right)=-280$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -280.

$$-1,280 -2,140 -4,70 -5,56 -7,40 -8,35 -10,28 -14,20$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+280=279 -2+140=138 -4+70=66 -5+56=51 -7+40=33 -8+35=27 -10+28=18 -14+20=6$$

Løsningen er paret som gir Summer 27.

$$a=-8 b=35$$

Skriv om 7x^{2}+27x-40 som \left(7x^{2}-8x\right)+\left(35x-40\right).

$$\left(7x^{2}-8x\right)+\left(35x-40\right)$$

Faktor ut x i den første og 5 i den andre gruppen.

$$x\left(7x-8\right)+5\left(7x-8\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 7x-8 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(7x-8\right)\left(x+5\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 7x-8=0 og x+5=0.

$$x=\frac{8}{7} x=-5$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$7x^{2}+27x-40=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 7 for a, 27 for b og -40 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-27±\sqrt{27^{2}-4\times 7\left(-40\right)}}{2\times 7}$$

Kvadrer 27.

$$x=\frac{-27±\sqrt{729-4\times 7\left(-40\right)}}{2\times 7}$$

Multipliser -4 ganger 7.

$$x=\frac{-27±\sqrt{729-28\left(-40\right)}}{2\times 7}$$

Multipliser -28 ganger -40.

$$x=\frac{-27±\sqrt{729+1120}}{2\times 7}$$

Legg sammen 729 og 1120.

$$x=\frac{-27±\sqrt{1849}}{2\times 7}$$

Ta kvadratroten av 1849.

$$x=\frac{-27±43}{2\times 7}$$

Multipliser 2 ganger 7.

$$x=\frac{-27±43}{14}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-27±43}{14} når ± er pluss. Legg sammen -27 og 43.

$$x=\frac{16}{14}$$

Forkort brøken \frac{16}{14} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=\frac{8}{7}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-27±43}{14} når ± er minus. Trekk fra 43 fra -27.

$$x=-\frac{70}{14}$$

Del -70 på 14.

$$x=-5$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{8}{7} x=-5$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}+27x-40=0$$

Legg til 40 på begge sider av ligningen.

$$7x^{2}+27x-40-\left(-40\right)=-\left(-40\right)$$

Når du trekker fra -40 fra seg selv har du 0 igjen.

$$7x^{2}+27x=-\left(-40\right)$$

Trekk fra -40 fra 0.

$$7x^{2}+27x=40$$

Del begge sidene på 7.

$$\frac{7x^{2}+27x}{7}=\frac{40}{7}$$

Hvis du deler på 7, gjør du om gangingen med 7.

$$x^{2}+\frac{27}{7}x=\frac{40}{7}$$

Del \frac{27}{7}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{27}{14}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{27}{14} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{27}{7}x+\left(\frac{27}{14}\right)^{2}=\frac{40}{7}+\left(\frac{27}{14}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{27}{14} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{27}{7}x+\frac{729}{196}=\frac{40}{7}+\frac{729}{196}$$

Legg sammen \frac{40}{7} og \frac{729}{196} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{27}{7}x+\frac{729}{196}=\frac{1849}{196}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{27}{7}x+\frac{729}{196}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{27}{14}\right)^{2}=\frac{1849}{196}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{27}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1849}{196}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{27}{14}=\frac{43}{14} x+\frac{27}{14}=-\frac{43}{14}$$

Trekk fra \frac{27}{14} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{8}{7} x=-5$$