Løs 64x^2+24sqrt{5}x+33=0

$$64 x ^ { 2 } + 24 \sqrt { 5 } x + 33 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16}\approx -0,419262746+0,582961191i$$

$$x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}\approx -0,419262746-0,582961191i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 64 for a, 24\sqrt{5} for b og 33 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{\left(24\sqrt{5}\right)^{2}-4\times 64\times 33}}{2\times 64}$$

Kvadrer 24\sqrt{5}.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-4\times 64\times 33}}{2\times 64}$$

Multipliser -4 ganger 64.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-256\times 33}}{2\times 64}$$

Multipliser -256 ganger 33.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-8448}}{2\times 64}$$

Legg sammen 2880 og -8448.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{-5568}}{2\times 64}$$

Ta kvadratroten av -5568.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{2\times 64}$$

Multipliser 2 ganger 64.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128} når ± er pluss. Legg sammen -24\sqrt{5} og 8i\sqrt{87}.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}+8\sqrt{87}i}{128}$$

Del -24\sqrt{5}+8i\sqrt{87} på 128.

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128} når ± er minus. Trekk fra 8i\sqrt{87} fra -24\sqrt{5}.

$$x=\frac{-8\sqrt{87}i-24\sqrt{5}}{128}$$

Del -24\sqrt{5}-8i\sqrt{87} på 128.

$$x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16} x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33=0$$

Trekk fra 33 fra begge sider av ligningen.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33-33=-33$$

Når du trekker fra 33 fra seg selv har du 0 igjen.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x=-33$$

Del begge sidene på 64.

$$\frac{64x^{2}+24\sqrt{5}x}{64}=-\frac{33}{64}$$

Hvis du deler på 64, gjør du om gangingen med 64.

$$x^{2}+\frac{24\sqrt{5}}{64}x=-\frac{33}{64}$$

Del 24\sqrt{5} på 64.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x=-\frac{33}{64}$$

Del \frac{3\sqrt{5}}{8}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{3\sqrt{5}}{16}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{3\sqrt{5}}{16} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\left(\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}=-\frac{33}{64}+\left(\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{3\sqrt{5}}{16}.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256}=-\frac{33}{64}+\frac{45}{256}$$

Legg sammen -\frac{33}{64} og \frac{45}{256} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256}=-\frac{87}{256}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}=-\frac{87}{256}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{87}{256}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{3\sqrt{5}}{16}=\frac{\sqrt{87}i}{16} x+\frac{3\sqrt{5}}{16}=-\frac{\sqrt{87}i}{16}$$

Trekk fra \frac{3\sqrt{5}}{16} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16} x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$