Løs 6x^2-x=15

$$6 x ^ { 2 } - x = 15$$

Løs for x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Trekk fra 15 fra begge sider.

$$6x^{2}-x-15=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 6x^{2}+ax+bx-15. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-1 ab=6\left(-15\right)=-90$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

Løsningen er paret som gir Summer -1.

$$a=-10 b=9$$

Skriv om 6x^{2}-x-15 som \left(6x^{2}-10x\right)+\left(9x-15\right).

$$\left(6x^{2}-10x\right)+\left(9x-15\right)$$

Faktor ut 2x i den første og 3 i den andre gruppen.

$$2x\left(3x-5\right)+3\left(3x-5\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 3x-5 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(3x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 3x-5=0 og 2x+3=0.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$6x^{2}-x=15$$

Trekk fra 15 fra begge sider av ligningen.

$$6x^{2}-x-15=15-15$$

Når du trekker fra 15 fra seg selv har du 0 igjen.

$$6x^{2}-x-15=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 6 for a, -1 for b og -15 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 6\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

Multipliser -4 ganger 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-24\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

Multipliser -24 ganger -15.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+360}}{2\times 6}$$

Legg sammen 1 og 360.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{361}}{2\times 6}$$

Ta kvadratroten av 361.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±19}{2\times 6}$$

Det motsatte av -1 er 1.

$$x=\frac{1±19}{2\times 6}$$

Multipliser 2 ganger 6.

$$x=\frac{1±19}{12}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{1±19}{12} når ± er pluss. Legg sammen 1 og 19.

$$x=\frac{20}{12}$$

Forkort brøken \frac{20}{12} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 4.

$$x=\frac{5}{3}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{1±19}{12} når ± er minus. Trekk fra 19 fra 1.

$$x=-\frac{18}{12}$$

Forkort brøken \frac{-18}{12} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 6.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-x=15$$

Del begge sidene på 6.

$$\frac{6x^{2}-x}{6}=\frac{15}{6}$$

Hvis du deler på 6, gjør du om gangingen med 6.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{15}{6}$$

Forkort brøken \frac{15}{6} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 3.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{5}{2}$$

Del -\frac{1}{6}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{1}{12}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{1}{12} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{1}{12} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{5}{2}+\frac{1}{144}$$

Legg sammen \frac{5}{2} og \frac{1}{144} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{361}{144}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{361}{144}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{144}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{19}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{19}{12}$$

Legg til \frac{1}{12} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$